Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial d yd x=y cdot cos x
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
y=-cos x+C
y=C e^x^22
y=C e^e^x
y=C x
y=C e^sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dydx = y cdot cos x. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais separáveis, onde conseguimos separar as variáveis y e x para resolver. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x. A ideia é deixar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado da igualdade. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por y:
1y cdot dydx = cos x
Isso nos dá:
dyy = cos x , dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de 1y , dy é ln |y| e a integral de cos x , dx é sin x. Então temos:
integral 1y , dy = integral cos x , dx
ln |y| = sin x + C
Aqui, C é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 4

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo natural exponenciando ambos os lados da equação:
e^ln |y| = e^sin x + C
Como e^ln |y| = |y|, podemos simplificar para:
|y| = e^sin x cdot e^C
Podemos absorver e^C em uma nova constante C', então:
y = C e^sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = C e^sen , x.

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