Encontre as primeiras 5 iterações dos sistemas de equações lineares abaixo utilizando os métodos de GaussJacobi e Gauss-Seidel. Utilize como aproximação inicial o vetor nulo. Compute os erros absolutos e relativos em cada iteração para cada método aplicado. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Finalmente, em cada sistema analisado pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula.
c. 10 x1+5 x2=6,
5 x1+10 x2-4 x3 =25
-4 x2+8 x3-x4=-11
-x3+5 x4=-11

Passo 1

O sistema a ser resolvido é
10x1 + 5x2 = 6, 5x1 + 10x2 - 4x3 = 25, -4x2 + 8x3 - x4 = -11, - x3 + 5x4 = -11
O conteúdo é métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel. Vamos precisar derivar as fórmulas iterativas de cada método, definir o erro absoluto pelo máximo módulo da diferença de iterações (norma ∞) e o erro relativo como o erro absoluto dividido pelo máximo módulo do vetor atual, e depois computar 5 iterações partindo de x^(0)=(0,0,0,0).

Passo 2

No método de Gauss–Jacobi isolamos cada xi usando apenas valores da iteração anterior:
x1^(k+1) = 110l(6 - 5x2^(k)r), x2^(k+1) = 110l(25 -5x1^(k) +4x3^(k)r), x3^(k+1) = 18l(-11 +4x2^(k) + x4^(k)r), x4^(k+1) = 15l(-11 + x3^(k)r)
Definimos o erro absoluto em k como
epsilonabs^(k) = |x^(k) - x^(k-1)|infty
e o erro relativo como
epsilonrel^(k) = epsilonabs^(k)|x^(k)|infty

Passo 3

Calculamos as primeiras cinco iterações de Jacobi:
Iteração k=1
x^(1) = (0.6,,2.5,,-1.375,,-2.2)
epsilonabs^(1) = 2.5, epsilonrel^(1) = 1
Iteração k=2
x^(2) = (-0.65,,1.65,,-0.4,,-2.475)
epsilonabs^(2) = 1.25, epsilonrel^(2) = 1.252.475 approx 0.50505
Iteração k=3
x^(3) = (-0.225,,2.665,,-0.859375,,-2.28)
epsilonabs^(3) = 1.015, epsilonrel^(3) = 1.0152.665 approx 0.3810
Iteração k=4
x^(4) = (-0.7325,,2.26875,,-0.3275,,-2.371875)
epsilonabs^(4) = 0.531875, epsilonrel^(4) = 0.5318752.371875 approx 0.22425
Iteração k=5
x^(5) = (-0.534375,,2.73525,,-0.537109375,,-2.2655)
epsilonabs^(5) = 0.4665, epsilonrel^(5) = 0.46652.73525 approx 0.1706

Passo 4

No método de Gauss–Seidel usamos valores atualizados imediatamente:
x1^(k+1) = 110l(6 - 5x2^(k)r), x2^(k+1) = 110l(25 -5x1^(k+1) +4x3^(k)r), x3^(k+1) = 18l(-11 +4x2^(k+1) + x4^(k)r), x4^(k+1) = 15l(-11 + x3^(k+1)r)
As cinco primeiras iterações são:
Iteração k=1
x^(1) = (0.6,,2.2,,-0.275,,-2.255)
epsilonabs^(1) = 2.255, epsilonrel^(1) = 1
Iteração k=2
x^(2) = (-0.5,,2.64,,-0.336875,,-2.267375)
epsilonabs^(2) = 1.1, epsilonrel^(2) = 1.12.64 approx 0.41667
Iteração k=3
x^(3) = (-0.72,,2.72525,,-0.295796875,,-2.259159375)
epsilonabs^(3) = 0.22, epsilonrel^(3) = 0.222.72525 approx 0.08074
Iteração k=4
x^(4) = (-0.762625,,2.76299375,,-0.2758980469,,-2.2551796094)
epsilonabs^(4) = 0.042625, epsilonrel^(4) = 0.0426252.76299375 approx 0.01543
Iteração k=5
x^(5) = (-0.781496875,,2.7803892187,,-0.2667028418,,-2.2533405684)
epsilonabs^(5) = 0.018871875, epsilonrel^(5) = 0.0188718752.7803892187 approx 0.00679

Resposta

O método de Gauss–Seidel converge muito mais rápido que o de Jacobi (a queda do erro é bem mais acentuada a cada iteração), graças ao uso imediato de valores atualizados. Isso mostra que, sempre que possível, usar Gauss–Seidel tende a reduzir o número de iterações necessárias para atingir certa precisão.

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