Encontre as primeiras 5 iterações dos sistemas de equações lineares abaixo utilizando os métodos de GaussJacobi e Gauss-Seidel. Utilize como aproximação inicial o vetor nulo. Compute os erros absolutos e relativos em cada iteração para cada método aplicado. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Finalmente, em cada sistema analisado pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula.
c.
,
c.
Passo 1
O sistema a ser resolvido é
O conteúdo é métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel. Vamos precisar derivar as fórmulas iterativas de cada método, definir o erro absoluto pelo máximo módulo da diferença de iterações (norma ∞) e o erro relativo como o erro absoluto dividido pelo máximo módulo do vetor atual, e depois computar 5 iterações partindo de
.
Passo 2
No método de Gauss–Jacobi isolamos cada
usando apenas valores da iteração anterior:
Definimos o erro absoluto em
como
e o erro relativo como
Passo 3
Calculamos as primeiras cinco iterações de Jacobi:
Iteração
Iteração
Iteração
Iteração
Iteração
Iteração
Passo 4
No método de Gauss–Seidel usamos valores atualizados imediatamente:
As cinco primeiras iterações são:
Iteração
Iteração
Iteração
Iteração
Iteração
Iteração
Resposta
O método de Gauss–Seidel converge muito mais rápido que o de Jacobi (a queda do erro é bem mais acentuada a cada iteração), graças ao uso imediato de valores atualizados. Isso mostra que, sempre que possível, usar Gauss–Seidel tende a reduzir o número de iterações necessárias para atingir certa precisão.