Considere a função
.
Determine o domínio de
e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
Determine o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} - 1} $ e precisa encontrar o domínio dela e as interseções com os eixos coordenados. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções e interseções com os eixos, que fazem parte do estudo de funções racionais na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função racional (uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios), precisamos garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos encontrar os valores de $ x $ que tornam o denominador zero:
Resolvendo essa equação:
Isso significa que $ x = 1 $ e $ x = -1 $ tornam o denominador zero, portanto, esses valores não estão no domínio da função.
Passo 3
Com isso, podemos definir o domínio da função como todos os números reais exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Em notação de intervalo, ficaria assim:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos coordenados. Primeiro, a interseção com o eixo $ y $ ocorre quando $ x = 0 $. Vamos calcular $ f(0) $:
Portanto, a função intercepta o eixo $ y $ no ponto $ (0, 0) $.
Passo 5
Para encontrar a interseção com o eixo $ x $, precisamos resolver a equação $ f(x) = 0 $:
Uma fração é igual a zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. Já vimos que o denominador é diferente de zero para todo $ x $ no domínio. Então, basta resolver $ x^{2} = 0 $:
Isso significa que a função intercepta o eixo $ x $ no ponto $ (0, 0) $.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} - 1} $ é todos os números reais exceto $ x = -1 $ e $ x = 1 $, ou seja:
As interseções com os eixos coordenados ocorrem no ponto $ (0, 0) $.