Determine o termo geral da sequência definida por:
x_{1}=2, \quad x_{2}=5, \quad x_{k}=x_{k-1}+2 x_{k-2}, \quad \text { para } k>2 .

Passo 1

O enunciado define a sequência (x_k) por
x_{1}=2,\quad x_{2}=5,\quad x_{k}=x_{k-1}+2\,x_{k-2}\quad\text{para }k>2.
Isto é uma recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico substituindo x_k por r^k:
r^2 - r - 2 = 0.
As raízes são
r = \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \frac{1\pm3}{2},
ou seja r_1=2 e r_2=-1. Logo, a solução geral da recorrência é
x_k = A\cdot 2^k + B\cdot(-1)^k,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Usamos x_1=2 e x_2=5 para montar o sistema em A,B:
\begin{cases} x_1 = A\cdot2^1 + B\cdot(-1)^1 = 2A - B = 2,\\[6pt] x_2 = A\cdot2^2 + B\cdot(-1)^2 = 4A + B = 5. \end{cases}]

Passo 4

Somando as duas equações do sistema, obtemos
(2A - B) + (4A + B) = 2 + 5 \quad\Longrightarrow\quad 6A = 7 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{7}{6}.
Substituindo em 4A + B = 5, vem
4\cdot\frac{7}{6} + B = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{28}{6} + B = 5 \quad\Longrightarrow\quad B = 5 - \frac{28}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo A e B na forma geral, obtemos o termo explícito
x_k = \frac{7}{6}\,2^k + \frac{1}{3}\,(-1)^k.

Resposta

x_k = \frac{7}{6}\,2^k + \frac{1}{3}\,(-1)^k.

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