Considere a equação de Riccati:
(a) Mostre que não admite solução elementar direta.
(b) Supondo
como solução particular, reduza a equação a uma equação de Bernoulli.
(b) Supondo
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e pede duas coisas:
(a) mostrar que ela não admite solução elementar direta (isto é, não existe uma escolha óbvia de função-teste ou solução constante que leve imediatamente à integração),
(b) assumindo como dada a solução particular , reduzir a equação a uma equação de Bernoulli para a nova incógnita.
(a) mostrar que ela não admite solução elementar direta (isto é, não existe uma escolha óbvia de função-teste ou solução constante que leve imediatamente à integração),
(b) assumindo como dada a solução particular
Para resolver, vamos primeiro buscar soluções-teste simples (constantes ou da forma
) e ver que elas não funcionam; em seguida aplicaremos a transformação clássica de Riccati,
, com
.
Passo 2
Procuramos solução constante
. Nesse caso
e a equação vira
O discriminante é
logo não há raiz real
. Assim não existe solução constante em campo real: não há escolha trivial de
constante que reduza a equação. Tentativas de forma simples
também não se ajustam para todos
. Concluímos que não existe “solução elementar direta” possível por método de tentativa de soluções polinomiais ou racionais simples.
Passo 3
Agora supomos que, de algum modo, já conhecemos a solução particular
Fazemos a mudança de variável típica de Riccati,
Calculamos
Por outro lado,
Igualando
a
e cancelando
de ambos os lados, obtemos
Esta é uma equação de Bernoulli não-homogênea de grau
em
, pois tem a forma
com
,
e
.
Resposta
A equação não admite solução elementar direta porque não há solução constante (nem racional simples) que anule
. Supondo
e escrevendo
, reduzimos a Riccati a
que é uma equação de Bernoulli de grau
em
.