Considere a equação de Riccati:
d yd x=y^2+y+1
(a) Mostre que não admite solução elementar direta.
(b) Supondo y=1x como solução particular, reduza a equação a uma equação de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
d yd x=y^2+y+1
e pede duas coisas:
(a) mostrar que ela não admite solução elementar direta (isto é, não existe uma escolha óbvia de função-teste ou solução constante que leve imediatamente à integração),
(b) assumindo como dada a solução particular yp(x)=1/x, reduzir a equação a uma equação de Bernoulli para a nova incógnita.
Para resolver, vamos primeiro buscar soluções-teste simples (constantes ou da forma a/x+b) e ver que elas não funcionam; em seguida aplicaremos a transformação clássica de Riccati, y=yp+z, com yp=1/x.

Passo 2

Procuramos solução constante y=k. Nesse caso dy/dx=0 e a equação vira
0=k^2+k+1
O discriminante é
De<a = 1^2-4cdot1cdot1=-3<0,
logo não há raiz real k. Assim não existe solução constante em campo real: não há escolha trivial de yp constante que reduza a equação. Tentativas de forma simples y=a/x+b também não se ajustam para todos x. Concluímos que não existe “solução elementar direta” possível por método de tentativa de soluções polinomiais ou racionais simples.

Passo 3

Agora supomos que, de algum modo, já conhecemos a solução particular
yp(x)=1x
Fazemos a mudança de variável típica de Riccati,
y(x)=yp(x)+z(x)=1x+z(x)
Calculamos
dydx =ddxl(1xr)+dzdx =-1x^2+dzdx
Por outro lado,
y^2+y+1 =l(1x+zr)^2+l(1x+zr)+1 =1x^2+2,zx+z^2+1x+z+1
Igualando dy/dx a y^2+y+1 e cancelando 1/x^2 de ambos os lados, obtemos
-1x^2+dzdx =1x^2+2,zx+z^2+1x+z+1 Longrightarrow dzdx = z^2+l(2/x+1r)z+l(1/x+1r)
Esta é uma equação de Bernoulli não-homogênea de grau n=2 em z, pois tem a forma
dzdx+P(x),z=Q(x),z^2+R(x),
com P(x)=-(2/x+1), Q(x)=1 e R(x)=1/x+1.

Resposta

A equação não admite solução elementar direta porque não há solução constante (nem racional simples) que anule y^2+y+1. Supondo yp=1/x e escrevendo y=1/x+z, reduzimos a Riccati a
dzdx = z^2+l(tfrac2x+1r)z+l(tfrac1x+1r),
que é uma equação de Bernoulli de grau 2 em z.

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