Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa e energia potencial
Considere as funções definidas por
onde são os polinômios de Hermite.
Obtenha as densidades de probabilidade para o valor da posição , respectivamente associadas as funções de onda para .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a densidade de probabilidade
para o oscilador harmônico quântico nos níveis .
Matéria envolvida: mecânica quântica – função de onda, densidade de probabilidade e polinômios de Hermite.
O que vamos usar:
1) ,
2) o fator de tempo some quando a gente pega o módulo quadrado,
3) a forma da parte espacial ,
4) expressão do e dos .
Passo 2
Primeiro:
Repare que o fator de tempo some porque .
Passo 3
Agora o Cn=l(momegapihbarr)^!1/41raiz2^n,n!, Rightarrow |Cn|^2=l(momegapihbarr)^!1/212^n,n!, : para o oscilador
Passo 4
A gente também precisa dos primeiros Hermite:
H1(x)=2x, H2(x)=4x^2-2, H3(x)=8x^3-12x
Passo 5
Para rho1(x) =|C1|^2,e^-,momega x^2hbar,[H1(x)]^2 =l(momegapihbarr)^!1/212^1,1! ,e^-,momega x^2hbar,(2x)^2 :
Passo 6
Para rho2(x) =|C2|^2,e^-,momega x^2hbar,[H2(x)]^2 =l(momegapihbarr)^!1/212^2,2! ,e^-,momega x^2hbar,(4x^2-2)^2 :
Passo 7
Para rho3(x) =|C3|^2,e^-,momega x^2hbar,[H3(x)]^2 =l(momegapihbarr)^!1/212^3,3! ,e^-,momega x^2hbar,(8x^3-12x)^2 :
Resposta
As densidades de probabilidade são, explicitamente: