Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa m e energia potencial
V(x)=12 K x^2=12 m omega^2, omega=raizKm
Considere as funções definidas por
Psin(x, t)=Cn e^-i En thbar psin(x), psin(x)=e^-m omega x^22 hbar Hn(x), n=0,1, ldots, infty,
onde Hn(x) são os polinômios de Hermite.
Obtenha as densidades de probabilidade rhon(x) para o valor da posição x, respectivamente associadas as funções de onda Psin(x, t) para n=1,2,3.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a densidade de probabilidade
rhon(x)=|Psin(x,t)|^2
para o oscilador harmônico quântico nos níveis .
Matéria envolvida: mecânica quântica – função de onda, densidade de probabilidade e polinômios de Hermite.
O que vamos usar:
1) ,
2) o fator de tempo some quando a gente pega o módulo quadrado,
3) a forma da parte espacial ,
4) expressão do e dos .

Passo 2

Primeiro:
rhon(x)=|Psin(x,t)|^2 =l|Cn,e^-,iEnthbar,e^-,momega x^22hbar,Hn(x)r|^2 =|Cn|^2,e^-,momega x^2hbar,[Hn(x)]^2
Repare que o fator de tempo some porque .

Passo 3

Agora o Cn=l(momegapihbarr)^!1/41raiz2^n,n!, Rightarrow |Cn|^2=l(momegapihbarr)^!1/212^n,n!, : para o oscilador

Passo 4

A gente também precisa dos primeiros Hermite:
H1(x)=2x, H2(x)=4x^2-2, H3(x)=8x^3-12x

Passo 5

Para rho1(x) =|C1|^2,e^-,momega x^2hbar,[H1(x)]^2 =l(momegapihbarr)^!1/212^1,1! ,e^-,momega x^2hbar,(2x)^2 :

Passo 6

Para rho2(x) =|C2|^2,e^-,momega x^2hbar,[H2(x)]^2 =l(momegapihbarr)^!1/212^2,2! ,e^-,momega x^2hbar,(4x^2-2)^2 :

Passo 7

Para rho3(x) =|C3|^2,e^-,momega x^2hbar,[H3(x)]^2 =l(momegapihbarr)^!1/212^3,3! ,e^-,momega x^2hbar,(8x^3-12x)^2 :

Resposta

As densidades de probabilidade são, explicitamente:
rho1(x) =l(tfracmomegapihbarr)^!1/2tfrac4x^22, e^-,momega x^2hbar, rho2(x) =l(tfracmomegapihbarr)^!1/2tfrac(4x^2-2)^28, e^-,momega x^2hbar,
rho3(x) =l(tfracmomegapihbarr)^!1/2tfrac(8x^3-12x)^248, e^-,momega x^2hbar

Exercícios relacionados