Considere o problema quântico de uma partícula de massa m em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição x. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial O atuando em funções da variável x.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável x ) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais psin(x) do operador O. Denotando os autovalores reais de O por lambdan, teremos
O psin(x)=lambdan psin(x), n=1,2, ldots, infty
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Mostre que a função de onda do item (A) normalizada
barPsi(x, t)=Psi(x, t)raizsumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t)
define uma densidade de probabilidade dada por rho(x, t)=barPsi^*(x, t) barPsi(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma função de onda Psi(x, t) que descreve o estado quântico de uma partícula. A questão nos apresenta uma versão normalizada dessa função de onda, chamada barPsi(x, t), que é dada por:
barPsi(x, t) = Psi(x, t)raizsumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t)
Queremos mostrar que essa função de onda normalizada define uma densidade de probabilidade rho(x, t) que é igual a:
rho(x, t) = barPsi^*(x, t) barPsi(x, t)
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de onda normalizada e como ela está relacionada à densidade de probabilidade na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Em mecânica quântica, a função de onda Psi(x, t) deve ser normalizada para garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. A normalização é feita dividindo a função de onda por um fator que assegura isso.
No caso apresentado, a função de onda normalizada barPsi(x, t) é obtida dividindo Psi(x, t) pela raiz quadrada da soma sumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t). Esse fator de normalização garante que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço seja igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos definir a densidade de probabilidade rho(x, t). Na mecânica quântica, a densidade de probabilidade é dada pelo produto da função de onda pela sua conjugada complexa:
rho(x, t) = Psi^*(x, t) Psi(x, t)
No nosso caso, estamos trabalhando com a função de onda normalizada barPsi(x, t). Portanto, substituímos Psi(x, t) por barPsi(x, t) na expressão da densidade de probabilidade:
rho(x, t) = barPsi^*(x, t) barPsi(x, t)

Passo 4

Para confirmar que essa é realmente a densidade de probabilidade desejada, precisamos verificar que a função de onda normalizada barPsi(x, t) satisfaz a condição de normalização:
integral-infty^infty rho(x, t) , dx = integral-infty^infty barPsi^*(x, t) barPsi(x, t) , dx = 1
Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer posição x ao longo do tempo t é igual a 1, o que é uma condição fundamental para funções de onda normalizadas na mecânica quântica.

Resposta

Assim, mostramos que a função de onda normalizada barPsi(x, t) define uma densidade de probabilidade rho(x, t) = barPsi^*(x, t) barPsi(x, t), garantindo que a probabilidade total seja igual a 1.

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