Considere o problema quântico de uma partícula de massa
em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição
. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial
atuando em funções da variável
.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais
do operador
. Denotando os autovalores reais de
por
, teremos
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Mostre que a função de onda do item (A) normalizada
define uma densidade de probabilidade dada por
.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
Mostre que a função de onda do item (A) normalizada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma função de onda
que descreve o estado quântico de uma partícula. A questão nos apresenta uma versão normalizada dessa função de onda, chamada
, que é dada por:
Queremos mostrar que essa função de onda normalizada define uma densidade de probabilidade
que é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de onda normalizada e como ela está relacionada à densidade de probabilidade na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Em mecânica quântica, a função de onda
deve ser normalizada para garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. A normalização é feita dividindo a função de onda por um fator que assegura isso.
No caso apresentado, a função de onda normalizada
é obtida dividindo
pela raiz quadrada da soma
. Esse fator de normalização garante que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço seja igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos definir a densidade de probabilidade
. Na mecânica quântica, a densidade de probabilidade é dada pelo produto da função de onda pela sua conjugada complexa:
No nosso caso, estamos trabalhando com a função de onda normalizada
. Portanto, substituímos
por
na expressão da densidade de probabilidade:
Passo 4
Para confirmar que essa é realmente a densidade de probabilidade desejada, precisamos verificar que a função de onda normalizada
satisfaz a condição de normalização:
Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer posição
ao longo do tempo
é igual a 1, o que é uma condição fundamental para funções de onda normalizadas na mecânica quântica.
Resposta
Assim, mostramos que a função de onda normalizada
define uma densidade de probabilidade
, garantindo que a probabilidade total seja igual a 1.