Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa m e energia potencial
V(x)=12 K x^2=12 m omega^2, omega=raizKm
Considere as funções definidas por
Psin(x, t)=Cn e^-i En thbar psin(x), psin(x)=e^-m omega x^22 hbar Hn(x), n=0,1, ldots, infty,
onde Hn(x) são os polinômios de Hermite.
Calcule a media e o desvio padrão da posição x para as funções de onda associadas aos respectivos níveis de energia En com n=1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa usar. A questão fala do oscilador harmônico quântico unidimensional com potencial
V(x)=tfrac12,momega^2 x^2
e das funções de onda estacionárias
Psin(x,t)=Cn,e^-iEnt/hbar,psin(x), psin(x)=e^-momega x^22hbar,Hn(x)
A gente precisa calcular, para os níveis , a média (expectation) de e o desvio padrão .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de valor esperado e .
  • Paridade das funções de Hermite (simetria/anti-simetria) para mostrar que .
  • Uso de operadores escada (ou integral direta) para achar .
  • Definição de desvio padrão .

Passo 2

Vamos mostrar por que sempre lang<= xrang<= =integral-infty^inftypsin^*(x),x,psin(x),dx =integral-infty^infty|psin(x)|^2,x,dx .
Por definição,
boxedlang<= xrang<==0, forall,n
Agora, é uma função par (mesmo para par, e mesmo para ímpar, porque muda ou não de sinal, mas quadrado fica par). Já é função ímpar. O produto “par × ímpar” é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre dá zero.
Logo:

Passo 3

Agora a=raizmomega2hbar,x+iraiz2mhbaromega,p, a^dag>=r=raizmomega2hbar,x-iraiz2mhbaromega,p, . Uma forma rápida é usar os operadores escada
x=raizhbar2momega,(a+a^dag>=r)
que dão
x^2=hbar2momegal(a^2+(a^dag>=r)^2+aa^dag>=r+a^dag>=r ar)
Então
lang<= n|a^2|nrang<= =lang<= n|(a^dag>=r)^2|nrang<= =0, lang<= n|aa^dag>=r|nrang<==n+1, lang<= n|a^dag>=r a|nrang<==n
No estado lang<= x^2rang<= =hbar2momegal((n+1)+nr) =hbar2momega(2n+1) :
Somando tudo:

Passo 4

O desvio padrão é
De
Basta agora colocar .

Resposta

Para boxedlang<= xrang<==0, temos sempre
boxedDe
e
ou seja:
  • : .
  • : .
  • : .

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