Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa
e energia potencial
Considere as funções definidas por
onde
são os polinômios de Hermite.
Calcule a media e o desvio padrão da posição
para as funções de onda associadas aos respectivos níveis de energia
.
Calcule a media e o desvio padrão da posição
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa usar. A questão fala do oscilador harmônico quântico unidimensional com potencial
e das funções de onda estacionárias
A gente precisa calcular, para os níveis
, a média (expectation) de
e o desvio padrão
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Definição de valor esperado
e . - Paridade das funções de Hermite (simetria/anti-simetria) para mostrar que
. - Uso de operadores escada (ou integral direta) para achar
. - Definição de desvio padrão
.
Passo 2
Vamos mostrar por que sempre
.
Por definição,
Por definição,
Agora,
é uma função par (mesmo para
par, e mesmo para
ímpar, porque
muda ou não de sinal, mas quadrado fica par). Já
é função ímpar. O produto “par × ímpar” é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre
dá zero.
Logo:
Logo:
Passo 3
Agora
. Uma forma rápida é usar os operadores escada
que dão
Então
No estado
:
Somando tudo:
Passo 4
O desvio padrão é
Basta agora colocar
.
Resposta
Para
temos sempre
e
ou seja:
-
: . -
: . -
: .