Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa m e energia potencial
V(x)=12 K x^2=12 m omega^2, omega=raizKm
Considere as funções definidas por
Psin(x, t)=Cn e^-i En thbar psin(x), psin(x)=e^-m omega x^22 hbar Hn(x), n=0,1, ldots, infty,
onde Hn(x) são os polinômios de Hermite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional. A gente tem uma massa $ m m V(x) = \frac{1}{2} K x^{2} V(x) = 12 K x^2 K K áàê \omega = \sqrt{\frac{K}{m}} omega = raizKm éçõ \Psi_{n}(x, t) Psin(x, t) ô H_{n}(x) $. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários e operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação de Schrödinger para esse sistema. Ela descreve como a função de onda $ \Psi(x, t) $ evolui no tempo. Para um potencial harmônico, a equação fica assim:
Psi(x, t)
Nessa equação, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e os termos representam a energia cinética e potencial, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ \Psi_{n}(x, t) $ dada:
Psin(x, t)
Aqui, $ C_{n} Psin(x, t) = Cn e^-i En thbar psin(x) éçã E_{n} Cn é n En \psi_{n}(x) $ é a função de onda espacial:
n
Os $ H_{n}(x) $ são os polinômios de Hermite, que aparecem nas soluções da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico.

Passo 4

Nosso objetivo agora é verificar se $ \Psi_{n}(x, t) Psin(x, t) çãöô E_{n} En \Psi_{n}(x, t) $ na equação de Schrödinger.

Passo 5

Primeiro, calculamos a derivada temporal de $ \Psi_{n}(x, t) $:
Psin(x, t)

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada espacial de $ \Psi_{n}(x, t) $:
Psin(x, t)
A função $ \psi_{n}(x) $ é conhecida, e sabemos que ela satisfaz a equação de Schrödinger estacionária para o oscilador harmônico.

Passo 7

Substituindo $ \Psi_{n}(x, t) $ e suas derivadas na equação de Schrödinger, temos:
Psin(x, t)
Simplificando o lado esquerdo:
i hbar ( -i Enhbar Psin(x, t) ) = ( -hbar^22m partial^2partial x^2 + 12 K x^2 ) Psin(x, t)

Passo 8

Isso mostra que $ \Psi_{n}(x, t) Psin(x, t) éçãáçãö E_{n} $. Sabemos, da teoria do oscilador harmônico quântico, que as energias são dadas por:
En
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $

Resposta

A energia associada ao estado $ n n ôé E_{n} = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega $.

Exercícios relacionados