Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa
e energia potencial
Considere as funções definidas por
onde
são os polinômios de Hermite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional. A gente tem uma massa $ m
V(x) = \frac{1}{2} K x^{2}
K
\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}
\Psi_{n}(x, t)
H_{n}(x) $. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários e operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação de Schrödinger para esse sistema. Ela descreve como a função de onda $ \Psi(x, t) $ evolui no tempo. Para um potencial harmônico, a equação fica assim:
Nessa equação, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e os termos representam a energia cinética e potencial, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ \Psi_{n}(x, t) $ dada:
Aqui, $ C_{n}
E_{n}
n
\psi_{n}(x) $ é a função de onda espacial:
Os $ H_{n}(x) $ são os polinômios de Hermite, que aparecem nas soluções da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico.
Passo 4
Nosso objetivo agora é verificar se $ \Psi_{n}(x, t)
E_{n}
\Psi_{n}(x, t) $ na equação de Schrödinger.
Passo 5
Primeiro, calculamos a derivada temporal de $ \Psi_{n}(x, t) $:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada espacial de $ \Psi_{n}(x, t) $:
A função $ \psi_{n}(x) $ é conhecida, e sabemos que ela satisfaz a equação de Schrödinger estacionária para o oscilador harmônico.
Passo 7
Substituindo $ \Psi_{n}(x, t) $ e suas derivadas na equação de Schrödinger, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 8
Isso mostra que $ \Psi_{n}(x, t)
E_{n} $. Sabemos, da teoria do oscilador harmônico quântico, que as energias são dadas por:
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $
Resposta
A energia associada ao estado $ n
E_{n} = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega $.