Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa m e energia potencial
V(x)=12 K x^2=12 m omega^2, omega=raizKm
Considere as funções definidas por
Psin(x, t)=Cn e^-i En thbar psin(x), psin(x)=e^-m omega x^22 hbar Hn(x), n=0,1, ldots, infty,
onde Hn(x) são os polinômios de Hermite.
Obtenha os valores de Cn(n=1,2,3) para que as funções Psin(x, t) sejam normalizadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores de $ C_n $ para que as funções $ \Psi_{n}(x, t) $ sejam normalizadas no oscilador harmônico quântico unidimensional. A matéria que vamos usar envolve a equação de Schrödinger, funções de onda, normalização e polinômios de Hermite. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e como os polinômios de Hermite entram nessa história.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Para uma função $ \Psi(x, t) $ ser normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Psi(x, t)
Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar é 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função de onda $ \Psi_{n}(x, t) $:
Psin(x, t)
Queremos que:
Psin(x, t) = Cn e^-i En thbar psin(x)

Passo 4

Vamos calcular o módulo ao quadrado de $ \Psi_{n}(x, t) $:
Psin(x, t)
onde $ \Psi_{n}^{*}(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \Psi_{n}(x, t) $.
Substituindo:
|Psin(x, t)|^2 = Psin(x, t) cdot Psin^*(x, t),

Passo 5

Simplificando, já que $ C_n $ é uma constante real (podemos assumir isso para simplificar) e $ \psi_{n}(x) $ também é real:
Cn
Então, a condição de normalização fica:
psin(x)

Passo 6

Agora, vamos lembrar que $ \psi_{n}(x) $ é dada por:
psin(x)
onde $ H_{n}(x) $ são os polinômios de Hermite. A integral que precisamos calcular é:
psin(x) = e^-m omega x^22 hbar Hn(x),

Passo 7

Felizmente, existe uma propriedade dos polinômios de Hermite que nos ajuda aqui:
integral-infty^+infty e^-x^2 [Hn(x)]^2 , dx = 2^n n! raizpi
No nosso caso, temos um fator diferente no expoente, então vamos fazer uma substituição para adequar a propriedade.

Passo 8

Vamos fazer a substituição:
y = raizm omegahbar x,
então:
x = raizhbarm omega y,
e
dx = raizhbarm omega dy
Substituindo na integral:
integral-infty^+infty e^-y^2 [Hn(y)]^2 raizhbarm omega , dy = 2^n n! raizpi raizhbarm omega

Passo 9

Então, a integral original fica:
integral-infty^+infty |psin(x)|^2 , dx = (m omegapi hbar)^1/2 2^n n! raizpi raizhbarm omega = 2^n n!

Passo 10

Voltando à condição de normalização:
|Cn|^2 cdot 2^n n! = 1
Assim,
|Cn|^2 = 12^n n!
E, assumindo que $ C_n $ é real positivo,
Cn

Resposta

Os valores de $ C_{n} $ que normalizam as funções $ \Psi_{n}(x, t) $ para $ n = 1, 2, 3 $ são:
Cn

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