Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa
e energia potencial
Considere as funções definidas por
onde
são os polinômios de Hermite.
Obtenha os valores de
para que as funções
sejam normalizadas.
Obtenha os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores de $ C_n $ para que as funções $ \Psi_{n}(x, t) $ sejam normalizadas no oscilador harmônico quântico unidimensional. A matéria que vamos usar envolve a equação de Schrödinger, funções de onda, normalização e polinômios de Hermite. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e como os polinômios de Hermite entram nessa história.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Para uma função $ \Psi(x, t) $ ser normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar é 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função de onda $ \Psi_{n}(x, t) $:
Queremos que:
Passo 4
Vamos calcular o módulo ao quadrado de $ \Psi_{n}(x, t) $:
onde $ \Psi_{n}^{*}(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \Psi_{n}(x, t) $.
Substituindo:
Passo 5
Simplificando, já que $ C_n $ é uma constante real (podemos assumir isso para simplificar) e $ \psi_{n}(x) $ também é real:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que $ \psi_{n}(x) $ é dada por:
onde $ H_{n}(x) $ são os polinômios de Hermite. A integral que precisamos calcular é:
Passo 7
Felizmente, existe uma propriedade dos polinômios de Hermite que nos ajuda aqui:
No nosso caso, temos um fator diferente no expoente, então vamos fazer uma substituição para adequar a propriedade.
Passo 8
Vamos fazer a substituição:
então:
e
Substituindo na integral:
Passo 9
Então, a integral original fica:
Passo 10
Voltando à condição de normalização:
Assim,
E, assumindo que $ C_n $ é real positivo,
Resposta
Os valores de $ C_{n} $ que normalizam as funções $ \Psi_{n}(x, t) $ para $ n = 1, 2, 3 $ são: