Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa m e energia potencial
V(x)=12 K x^2=12 m omega^2, omega=raizKm
Considere as funções definidas por
Psin(x, t)=Cn e^-i En thbar psin(x), psin(x)=e^-m omega x^22 hbar Hn(x), n=0,1, ldots, infty,
onde Hn(x) são os polinômios de Hermite.
Calcule, respectivamente para os níveis de energia n=1,2,3, a média e o desvio padrão para o valor do momento p.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos recapitular o que o exercício pede. Temos o oscilador harmônico unidimensional na mecânica quântica, massa Psin(x,t)=Cn,e^-iEn t/hbar,psin(x), psin(x)=e^-momega x^22hbar,Hn(x), , frequência hat p=-ihbarddx, , funções de onda
lang<= prang<==integralpsin^*(x),hat p,psin(x),dx, lang<= p^2rang<==integralpsin^*(x),hat p^2,psin(x),dx
e queremos, para , calcular
  1. a média do momento
  2. o desvio-padrão do momento .
Para isso vamos precisar da definição de operador momento em -representação
das fórmulas de valor médio
e da definição de desvio-padrão
.

Passo 2

Vamos achar primeiro lang<= prang<= =integral psin^*(x),l(-ihbartfracddxr),psin(x),dx =-ihbarintegral psin(x),psin'(x),dx . Como boxedlang<= prang<==0para todo n é real (o único fator complexo é o , que cancela na integral de valor médio em ), temos
Mas isso é uma integral de uma derivada total que, considerando a função indo a zero em , dá zero. Logo

Passo 3

Agora lang<= Trang<= =lang<= p^2rang<=2m, lang<= Vrang<= =12momega^2lang<= x^2rang<=, . Podemos usar a relação entre energia cinética e potencial (teorema do virial para o oscilador):
lang<= p^2rang<=2m =En2 ;Longrightarrow; lang<= p^2rang<= = m,En = m,hbaromegal(n+tfrac12r)
e sabe-se que em cada estado estacionário
. Como , temos

Passo 4

Finalmente o desvio-padrão
De
Basta substituir .

Resposta

Para lang<= prang<==0, De:
lang<= prang<==0, De
Para lang<= prang<==0, De:
Para :

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