Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa
e energia potencial
Considere as funções definidas por
onde
são os polinômios de Hermite.
Calcule, respectivamente para os níveis de energia
, a média e o desvio padrão para o valor do momento
.
Calcule, respectivamente para os níveis de energia
Passo 1
Beleza, primeiro vamos recapitular o que o exercício pede. Temos o oscilador harmônico unidimensional na mecânica quântica, massa
, frequência
, funções de onda
e queremos, para
, calcular
- a média do momento
- o desvio-padrão do momento
.
Para isso vamos precisar da definição de operador momento em
-representação
das fórmulas de valor médio
e da definição de desvio-padrão
.
Passo 2
Vamos achar primeiro
. Como
é real (o único fator complexo é o
, que cancela na integral de valor médio em
), temos
Mas isso é uma integral de uma derivada total que, considerando a função indo a zero em
, dá zero. Logo
Passo 3
Agora
. Podemos usar a relação entre energia cinética e potencial (teorema do virial para o oscilador):
e sabe-se que em cada estado estacionário
. Como
, temos
Passo 4
Finalmente o desvio-padrão
Basta substituir
.
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: