Considere a equação de Schrödinger unidimensional para uma partícula de massa
com energia potencial dada por
Encontre as soluções da equação de Schrödinger escritas como
para os casos (a)
, (b)
e ©
. Discuta em cada caso a questão dos valores possíveis da energia
e se as soluções são ondas progressivas ou estacionárias.
Dica: Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para função
em cada região da definição do potencial. Considere que a função
e sua derivada sejam contínuas na fronteira entre as regiões de definição da energia potencial.
Dica: Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação de Schrödinger para uma partícula numa dimensão com um potencial que muda dependendo da posição $ x $. A gente vai trabalhar com três casos de energia $ E $ em relação ao potencial $ V_0 $. Para resolver, vamos precisar entender a equação de Schrödinger independente do tempo, aplicar as condições de contorno e analisar se as soluções são ondas progressivas ou estacionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma da equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, $ \psi(x) $ é a função de onda que queremos encontrar, $ V(x) $ é o potencial, $ E $ é a energia da partícula, $ m $ é a massa da partícula, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Vamos dividir o espaço em três regiões com base no potencial $ V(x) $:
-
Região I: $ x < 0 $$ V(x) = 0 $
-
Região II: $ 0 < x < L $$ V(x) = V_0 $
-
Região III: $ x > L $$ V(x) = 0 $
Em cada região, a equação de Schrödinger se simplifica porque $ V(x) $ é constante.
Passo 4
Vamos resolver a equação em cada região:
-
Região I e III ($ V(x) = 0 $):A equação fica:Simplificando:Onde $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $.A solução geral é:
-
Região II ($ V(x) = V_0 $):A equação fica:Simplificando:Onde $ q = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} $.A solução geral depende do valor de $ E $ em relação a $ V_0 $.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno. A função de onda $ \psi(x) $ e sua derivada devem ser contínuas nas fronteiras $ x = 0 $ e $ x = L $. Isso nos dá um sistema de equações para determinar as constantes $ A, B, C, D, F, G $ nas soluções gerais.
Passo 6
Vamos analisar cada caso de $ E $ em relação a $ V_0 $:
Caso (a): $ 0 < E < V_0 $
Aqui, $ E < V_0 $, então na Região II, temos soluções exponenciais reais, indicando que a partícula pode “tunar” através da barreira.
- Região I e III: soluções oscilatórias (ondas progressivas).
- Região II: soluções exponenciais decrescentes ou crescentes (ondas estacionárias).
As energias permitidas $ E $ são quantizadas devido às condições de contorno.
Caso (b): $ E = V_0 $
Neste caso, na Região II, a equação se simplifica para uma solução linear, já que $ q = 0 $.
- Região I e III: soluções oscilatórias.
- Região II: soluções lineares.
As soluções também dependem das condições de contorno.
Caso ©: $ E > V_0 $
Aqui, $ E > V_0 $, então na Região II, as soluções são também oscilatórias.
- Todas as Regiões: soluções oscilatórias (ondas progressivas).
As energias $ E $ podem ser contínuas e não necessariamente quantizadas.
Resposta
As soluções da equação de Schrödinger para cada caso são:
(a) Para $ 0 < E < V_0 $, a função de onda é composta por ondas oscilatórias nas Regiões I e III e por funções exponenciais decrescentes na Região II. As energias $ E $ são quantizadas e as soluções são ondas estacionárias.
(b) Para $ E = V_0 $, a função de onda tem soluções oscilatórias nas Regiões I e III e soluções lineares na Região II. As energias podem assumir valores específicos e as soluções são ondas estacionárias.
© Para $ E > V_0 $, todas as Regiões possuem soluções oscilatórias, e as energias $ E $ podem ser contínuas. As soluções são ondas progressivas.