Considere a equação de Schrödinger unidimensional para uma partícula de massa m com energia potencial dada por
ll V(x)=0 & V<0 V(x)=V0>0 & VL
Encontre as soluções da equação de Schrödinger escritas como
Psi(x, t)=e^-i E thbar psi(x),
para os casos (a) 0, (b) E=V0 e © E>V0. Discuta em cada caso a questão dos valores possíveis da energia E e se as soluções são ondas progressivas ou estacionárias.
Dica: Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para função psi(x) em cada região da definição do potencial. Considere que a função psi(x) e sua derivada sejam contínuas na fronteira entre as regiões de definição da energia potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação de Schrödinger para uma partícula numa dimensão com um potencial que muda dependendo da posição $ x $. A gente vai trabalhar com três casos de energia $ E $ em relação ao potencial $ V_0 $. Para resolver, vamos precisar entender a equação de Schrödinger independente do tempo, aplicar as condições de contorno e analisar se as soluções são ondas progressivas ou estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma da equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
Aqui, $ \psi(x) $ é a função de onda que queremos encontrar, $ V(x) $ é o potencial, $ E $ é a energia da partícula, $ m $ é a massa da partícula, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Vamos dividir o espaço em três regiões com base no potencial $ V(x) $:
  1. Região I: $ x < 0 $
    $ V(x) = 0 $
  2. Região II: $ 0 < x < L $
    $ V(x) = V_0 $
  3. Região III: $ x > L $
    $ V(x) = 0 $
Em cada região, a equação de Schrödinger se simplifica porque $ V(x) $ é constante.

Passo 4

Vamos resolver a equação em cada região:
  • Região I e III ($ V(x) = 0 $):
    A equação fica:
    V(x) = 0
    Simplificando:
    -hbar^22m d^2 psidx^2 = E psi
    Onde $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $.
    A solução geral é:
    d^2 psidx^2 + k^2 psi = 0
  • Região II ($ V(x) = V_0 $):
    A equação fica:
    k = raiz2mEhbar^2
    Simplificando:
    psi(x) = A e^ikx + B e^-ikx
    Onde $ q = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} $.
    A solução geral depende do valor de $ E $ em relação a $ V_0 $.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. A função de onda $ \psi(x) $ e sua derivada devem ser contínuas nas fronteiras $ x = 0 $ e $ x = L $. Isso nos dá um sistema de equações para determinar as constantes $ A, B, C, D, F, G $ nas soluções gerais.

Passo 6

Vamos analisar cada caso de $ E $ em relação a $ V_0 $:

Caso (a): $ 0 < E < V_0 $

Aqui, $ E < V_0 $, então na Região II, temos soluções exponenciais reais, indicando que a partícula pode “tunar” através da barreira.
  • Região I e III: soluções oscilatórias (ondas progressivas).
  • Região II: soluções exponenciais decrescentes ou crescentes (ondas estacionárias).
As energias permitidas $ E $ são quantizadas devido às condições de contorno.

Caso (b): $ E = V_0 $

Neste caso, na Região II, a equação se simplifica para uma solução linear, já que $ q = 0 $.
  • Região I e III: soluções oscilatórias.
  • Região II: soluções lineares.
As soluções também dependem das condições de contorno.

Caso ©: $ E > V_0 $

Aqui, $ E > V_0 $, então na Região II, as soluções são também oscilatórias.
  • Todas as Regiões: soluções oscilatórias (ondas progressivas).
As energias $ E $ podem ser contínuas e não necessariamente quantizadas.

Resposta

As soluções da equação de Schrödinger para cada caso são:
(a) Para $ 0 < E < V_0 $, a função de onda é composta por ondas oscilatórias nas Regiões I e III e por funções exponenciais decrescentes na Região II. As energias $ E $ são quantizadas e as soluções são ondas estacionárias.
(b) Para $ E = V_0 $, a função de onda tem soluções oscilatórias nas Regiões I e III e soluções lineares na Região II. As energias podem assumir valores específicos e as soluções são ondas estacionárias.
© Para $ E > V_0 $, todas as Regiões possuem soluções oscilatórias, e as energias $ E $ podem ser contínuas. As soluções são ondas progressivas.

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