Considere as funções de onda espaciais psin l m(r, theta, phi) dos estados quânticos do atomo de hidrogênio e associadas respectivamente aos números quânticos de energia n, momento angular l e momento magnético m. Estas funções podem ser escritas como
psin l m(r, theta, phi)=Rn l(r) Yl m(theta, phi)
A funções radiais Rn l(r) são definidas como
Rn l(r)=An l r^l e^-ra0 Ln l(r / a0),
onde a0 é raio de Bohr e Ln l os polinômios de Laguerre. As funções Yl m(theta, phi) são os harmônicos esféricos.
Obtenha as densidades de probabilidade da posição do eletron para os diferentes estados quânticos associados aos niveis n=1 e n=2 da energia.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar as funções de onda do átomo de hidrogênio
psin,l,m(r,theta,phi)=Rn,l(r),Yl,m(theta,phi)
e achar a densidade de probabilidade de encontrar o elétron (que é simplesmente |psi|^2) para os níveis de energia n=1 e n=2.
O conteúdo aqui é Mecânica Quântica (funções de onda, harmônicos esféricos e polinômios de Laguerre) e o que a gente vai usar mesmo é:
1) A definição de densidade de probabilidade P(r,theta,phi)=|psi|^2.
2) As formas conhecidas de Rn,l(r) e Yl,m(theta,phi).

Passo 2

Teoria básica rapidinha:
  • A probabilidade de achar o elétron num volume dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi é dP=|psi(r,theta,phi)|^2,dV
    - Então a densidade de probabilidade pura é
    P(r,theta,phi)=|psi(r,theta,phi)|^2=|Rn,l(r)|^2,|Yl,m(theta,phi)|^2
  • Lembra que Yl,m(theta,phi) são normalizados na esfera e os Rn,l(r) têm normalização radial.

Passo 3

Caso n=1 (só existe l=0, m=0):
  • R10(r)=2,a0^-3/2e^-r/a0
  • Y00(theta,phi)=1raiz4pi
Logo
|psi100|^2 =|R10|^2,|Y00|^2 =l(2,a0^-3/2e^-r/a0r)^2!!times14pi =1pi,a0^3,e^-2r/a0

Passo 4

Caso n=2,;l=0,;m=0 (estado 2s):
  • R20(r)=1(2a0)^3/2l(2- ra0r)e^-r/(2a0)
  • Y00(theta,phi)=1raiz4pi
Então
$$|R_{20}|^2
=\frac{1}{8,a_0^3}\Bigl(2-\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0},$$
|R20|^2 =18,a0^3l(2-tfrac ra0r)^2e^-r/a0,

Passo 5

Caso n=2,;l=1,;m=-1,0,1 (estados 2p):
  • R21(r)=12raiz6,a0^3/2; ra0;e^-r/(2a0)
  • Y1m(theta,phi) são os harmônicos esféricos de ordem 1
Logo
$$|R_{21}|^2
=\frac{1}{24,a_0^3}\Bigl(\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0}, |R21|^2 =124,a0^3l(tfrac ra0r)^2e^-r/a0,|\psi_{21m}|^2
=|R_{21}|2,|Y_{1m}|2
=\frac{1}{24,a_0^3}\Bigl(\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0};|Y_{1m}(\theta,\phi)|^2.$$

Resposta

As densidades de probabilidade são, em LaTeX:
  1. Para n=1,;l=0,m=0:
$$|\psi_{100}(r,\theta,\phi)|^2
=\frac{1}{\pi,a_03},e{-2r/a_0}.$$
  1. Para |psi100(r,theta,phi)|^2 =1pi,a0^3,e^-2r/a0 (2s):
$$|\psi_{200}(r,\theta,\phi)|^2
=\frac{1}{32\pi,a_0^3}\Bigl(2-\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0}.$$
  1. Para n=2,;l=0,m=0 (2p):
$$|\psi_{21m}(r,\theta,\phi)|^2
=\frac{1}{24,a_0^3}\Bigl(\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0};|Y_{1m}(\theta,\phi)|^2.$$

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