Considere as funções de onda espaciais
dos estados quânticos do atomo de hidrogênio e associadas respectivamente aos números quânticos de energia
, momento angular
e momento magnético
. Estas funções podem ser escritas como
A funções radiais
são definidas como
onde
é raio de Bohr e
os polinômios de Laguerre. As funções
são os harmônicos esféricos.
Obtenha as densidades de probabilidade da posição do eletron para os diferentes estados quânticos associados aos niveis
e
da energia.
Obtenha as densidades de probabilidade da posição do eletron para os diferentes estados quânticos associados aos niveis
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente pegar as funções de onda do átomo de hidrogênio
e achar a densidade de probabilidade de encontrar o elétron (que é simplesmente
O conteúdo aqui é Mecânica Quântica (funções de onda, harmônicos esféricos e polinômios de Laguerre) e o que a gente vai usar mesmo é:
1) A definição de densidade de probabilidade
2) As formas conhecidas de
Passo 2
Teoria básica rapidinha:
- A probabilidade de achar o elétron num volume
é
- Então a densidade de probabilidade pura é
- Lembra que
são normalizados na esfera e os têm normalização radial.
Passo 3
Caso
(só existe
,
):
Logo
Passo 4
Caso
(estado 2s):
Então
$$|R_{20}|^2
=\frac{1}{8,a_0^3}\Bigl(2-\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0},$$
Passo 5
Caso
(estados 2p):
-
-
são os harmônicos esféricos de ordem 1
Logo
$$|R_{21}|^2
=\frac{1}{24,a_0^3}\Bigl(\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0},
|\psi_{21m}|^2
=|R_{21}|2,|Y_{1m}|2
=\frac{1}{24,a_0^3}\Bigl(\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0};|Y_{1m}(\theta,\phi)|^2.$$
Resposta
As densidades de probabilidade são, em LaTeX:
- Para
:
$$|\psi_{100}(r,\theta,\phi)|^2
=\frac{1}{\pi,a_03},e{-2r/a_0}.$$
- Para
(2s):
$$|\psi_{200}(r,\theta,\phi)|^2
=\frac{1}{32\pi,a_0^3}\Bigl(2-\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0}.$$
- Para
(2p):
$$|\psi_{21m}(r,\theta,\phi)|^2
=\frac{1}{24,a_0^3}\Bigl(\tfrac r{a_0}\Bigr)2e{-r/a_0};|Y_{1m}(\theta,\phi)|^2.$$