9-Demonstre que para uma onda plana no meio linear, isotrópico e homogêneo de permissividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma, a impedância Z é um número complexo e é dada por
onde definimos a impedância por \vec{H}=\frac{1}{2}(\hat{r} \times \vec{E}).
Passo 1
O enunciado dá uma onda plana que se propaga em um meio homogêneo, isotrópico e linear com permissividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma. Pede para demonstrar que a impedância Z é um número complexo e pode ser escrita na forma
Observação prática que vou usar: para identificar com os parâmetros usuais tomo a=\sigma e t=\varepsilon, de modo que
Q=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
O enunciado também indica a definição da impedância via a relação entre campos (a forma usual é \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\hat{r}\times\vec{E}), ou equivalentemente Z=\dfrac{E}{H} para a onda plana), e eu vou usar as equações de Maxwell no domínio de freqüência (fasores) para obter a expressão de Z.
Passo 2
Relembrando (com calma) as equações de Maxwell no domínio harmônico (fasor), supondo dependência temporal \mathrm{e}^{-i\omega t}. As versões relevantes são:
Explicação didática: aqui usamos a representação senoidal dos campos como fasores complexos (fácil de manipular). A condutividade \sigma entra porque a corrente livre é \vec{J}=\sigma\vec{E}; o termo i\omega\varepsilon vem da corrente de deslocamento \partial\vec{D}/\partial t transformada para fasor. Essas duas equações juntinhas determinam a relação entre \vec{E}, \vec{H} e o número de onda complexo k.]
Passo 3
Para uma onda plana que se propaga na direção \hat{r} (com vetor de onda \vec{k}=k\hat{r}), as derivadas espaciais se reduzem a multiplicação por i\vec{k}. A relação entre \vec{E} e \vec{H} para uma onda plana é obtida diretamente de \nabla\times\vec{E}=i\omega\mu\vec{H}. Substituindo \nabla\to i\vec{k} dá:
i\vec{k}\times\vec{E}=i\omega\mu\,\vec{H}.
Cancelando o fator i e usando \vec{k}=k\hat{r} obtemos
\vec{k}\times\vec{E}=\omega\mu\,\vec{H}.
Se \hat{r} é a direção de \vec{k}, então
k(\hat{r}\times\vec{E})=\omega\mu\,\vec{H}.
Isolando \vec{H} em função de \vec{E} obtemos a definição prática da impedância da onda:
Comparando com a forma \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\hat{r}\times\vec{E}) vemos que a impedância do meio (intrínseca da onda) é
Z=\frac{\omega\mu}{k}.
Aula rápida: isto é a relação fundamental — a impedância é a razão entre campo elétrico e campo magnético para a onda que se propaga; aparece naturalmente a partir de Maxwell.
Passo 4
Agora precisamos do número de onda complexo k. Partindo de \nabla\times\vec{H}=(\sigma+i\omega\varepsilon)\vec{E} e aplicando \nabla\times em \nabla\times\vec{E}=i\omega\mu\vec{H} (e usando \nabla\cdot\vec{E}=0 no meio homogêneo), segue a equação de onda:
Explicando: esse k^{2} vem da combinação das equações de Maxwell; o termo real \omega^{2}\mu\varepsilon corresponde à parte de propagação no dielétrico, e a parte imaginária -i\omega\mu\sigma aparece por causa da condutividade (atenuação). Podemos escrever k^{2} factorando \omega^{2}\mu\varepsilon:
que coincide com a forma do enunciado se identificarmos a=\sigma e t=\varepsilon.
Passo 5
Queremos k (a raiz quadrada de k^{2}). Escrevemos o fator complexo em forma polar. Primeiro note que
1-iQ = \sqrt{1+Q^{2}}\;e^{-i\gamma},
onde
\gamma=\arctan(Q).
Justificativa: o número complexo 1-iQ tem módulo \sqrt{1+Q^{2}} e argumento -\arctan(Q) (porque a parte imaginária é -Q). Portanto a raiz quadrada tem módulo (1+Q^{2})^{1/4} e argumento -\gamma/2. Assim a raiz k é
\begin{aligned} k &= \omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1-iQ} \\[4pt] &= \omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,(1+Q^{2})^{1/4}\,e^{-i\gamma/2}. \end{aligned}
Breve comentário: a raiz complexa tem duas escolhas de sinal, mas ao escolher a convenção física associada à atenuação positiva (campo decrescendo com a distância), escolhemos o ramo com parte imaginária positiva para k que corresponde à escrita acima.]
Passo 6
Usando a expressão de k na relação Z=\dfrac{\omega\mu}{k} obtemos
\begin{aligned} Z &= \frac{\omega\mu}{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,(1+Q^{2})^{1/4}\,e^{-i\gamma/2}} \\[6pt] &= \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\;(1+Q^{2})^{-1/4}\,e^{+i\gamma/2}. \end{aligned}
Explicação passo a passo: simplificamos o \omega, agrupamos \mu/\sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{\mu/\varepsilon}, e o fator exponencial vira e^{+i\gamma/2} porque dividimos por e^{-i\gamma/2}.]
Passo 7
Interpretando o resultado: \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} é o valor da impedância no caso sem condutividade; o fator (1+Q^{2})^{-1/4} diminui a magnitude quando há condutividade; e o fator e^{i\gamma/2} introduz uma defasagem entre \vec{E} e \vec{H}, ou seja, a impedância é complexa. Podemos escrever Z em forma módulo-fase:
Se quisermos separar parte real e imaginária (útil para entender perdas):
Z = Z_{r}+iZ_{i} = |Z|(\cos\varphi + i\sin\varphi).
Passo 8
Comentário final e conexão com a notação do enunciado: tomando Q=\dfrac{a}{\omega t} com a=\sigma e t=\varepsilon e \gamma=\arctan(Q), a impedância intrínseca pode ser escrita convenientemente em forma complexa (módulo-fase) como
Isto mostra que Z é de fato um número complexo (tem módulo e fase) e dá a forma prática para uso em problemas de ondas em meios condutores.
Resposta
\displaystyle Z=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}\;(1+Q^{2})^{-1/4}\,e^{\,i\gamma/2}, com \displaystyle Q=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon} e \displaystyle \gamma=\arctan(Q).