7-Em notação complexa há um dispositivo engenhoso para descobrir a média temporal de um produto. Suponha que \vec{f}(\vec{r}, t)=\vec{a} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{a}\right) e \vec{g}(\vec{r}, t)=\vec{b} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{b}\right), onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais. Mostre que \left\langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \cdot \operatorname{Re}\left(\vec{g}^{\prime}\right)\right\rangle=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \cdot \vec{g}^{*}\right) e \langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \times \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle= \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \times \vec{g}^{*}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais complexas dependentes de \vec{r} e t:
\vec{f}(\vec{r},t)=\vec{a}\,\exp\bigl(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_a)\bigr)
\vec{g}(\vec{r},t)=\vec{b}\,\exp\bigl(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_b)\bigr),
onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais, \vec{k} é o vetor de onda, \omega a frequência angular e \delta_a,\delta_b constantes de fase. (Aqui coloquei explicitamente o fator i nas exponenciais porque é o uso padrão de notação complexa para fasores.)
O pedido é mostrar duas identidades envolvendo médias temporais (denotadas por \langle\cdot\rangle) e as partes reais:
\left\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\left(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\right)
e
\left\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\left(\vec{f}\times\vec{g}^{*}\right).
Também vamos usar a definição de média temporal sobre um período T=2\pi/\omega:
\langle h(t)\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} h(t)\,dt.

Passo 2

Fórmula útil e simples: para qualquer número complexo (ou vetor complexo) z vale
\operatorname{Re}(z)=\frac{z+z^{*}}{2},
onde o asterisco indica conjugado complexo. Isso vem da definição de conjugado: z=(\operatorname{Re}z)+i(\operatorname{Im}z) e z^{*}=(\operatorname{Re}z)-i(\operatorname{Im}z); somando-os e dividindo por 2 isolamos a parte real. Aplicando isso a \vec{f} e \vec{g} obtemos
\operatorname{Re}(\vec{f})=\frac{\vec{f}+\vec{f}^{*}}{2},\qquad \operatorname{Re}(\vec{g})=\frac{\vec{g}+\vec{g}^{*}}{2}.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de interesse antes de tomar a média:
\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\,(\vec{f}+\vec{f}^{*})\cdot(\vec{g}+\vec{g}^{*}).
Expandindo o produto escalar (que é bilinear):
\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}+\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}^{*}\bigr).
Agora faremos a média temporal de cada termo. Observe a dependência temporal explícita nos exponenciais: cada vetor \vec{f} ou \vec{g} traz um fator \exp\bigl(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta)\bigr). Portanto os termos combinados têm fatores temporais:
  • \vec{f}\cdot\vec{g} contém um fator \exp\bigl(i(2\vec{k}\cdot\vec{r}-2\omega t+\delta_a+\delta_b)\bigr), ou seja \propto e^{-2i\omega t} (multiplica por coisas independentes de t);
  • \vec{f}^{*}\cdot\vec{g}^{*} contém \propto e^{+2i\omega t};
  • \vec{f}\cdot\vec{g}^{*} contém \propto e^{0\cdot i\omega t} (as dependências e^{-i\omega t} se cancelam entre \vec{f} e \vec{g}^{*});
  • \vec{f}^{*}\cdot\vec{g} é o conjugado de \vec{f}\cdot\vec{g}^{*}, também sem fator oscilatório em t.
Importante: a média temporal de uma exponencial harmônica não-nula é zero. Mais precisamente, para inteiro n\neq 0,
\left\langle e^{i n\omega t}\right\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} e^{i n\omega t}\,dt =\frac{1}{T}\left.\frac{e^{i n\omega t}}{i n\omega}\right|_{0}^{T} =\frac{e^{i n\omega T}-1}{i n\omega T}=0,
porque e^{i n\omega T}=e^{i n\omega (2\pi/\omega)}=e^{i 2\pi n}=1. Assim qualquer termo com fator e^{\pm 2i\omega t} tem média zero. Logo, ao tirar a média temporal em \operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g}), sobram apenas os termos não oscilatórios:
\left\langle \operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}\bigr).
Mas a soma \vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g} é exatamente 2\operatorname{Re}(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}) (pela definição de parte real aplicada ao escalar complexo \vec{f}\cdot\vec{g}^{*}). Portanto
\left\langle \operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle =\frac{1}{4}\cdot 2\,\operatorname{Re}(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}) =\frac{1}{2}\operatorname{Re}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\bigr),
que é a primeira identidade pedida.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo raciocínio para o produto vetorial. Começamos escrevendo
\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\,(\vec{f}+\vec{f}^{*})\times(\vec{g}+\vec{g}^{*})
e expandindo usando bilinearidade do produto vetorial:
\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\times\vec{g}+\vec{f}\times\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\times\vec{g}+\vec{f}^{*}\times\vec{g}^{*}\bigr).
A dependência temporal de cada termo é análoga ao caso escalar: \vec{f}\times\vec{g} e \vec{f}^{*}\times\vec{g}^{*} oscilam com e^{\pm 2i\omega t} e têm média zero; \vec{f}\times\vec{g}^{*} e \vec{f}^{*}\times\vec{g} são não oscilatórios. Tomando a média temporal:
\left\langle \operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\times\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\times\vec{g}\bigr).
Novamente a soma \vec{f}\times\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\times\vec{g} é 2\operatorname{Re}(\vec{f}\times\vec{g}^{*}) (parte real aplicada a cada componente do vetor), então chegamos a
\left\langle \operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle =\frac{1}{2}\operatorname{Re}\bigl(\vec{f}\times\vec{g}^{*}\bigr),
que é a segunda identidade pedida.

Resposta

\displaystyle \left\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\bigr)\n
\displaystyle \left\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g})\right\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\bigl(\vec{f}\times\vec{g}^{*}\bigr)

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