7-Em notação complexa há um dispositivo engenhoso para descobrir a média temporal de um produto. Suponha que \vec{f}(\vec{r}, t)=\vec{a} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{a}\right) e \vec{g}(\vec{r}, t)=\vec{b} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{b}\right), onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais. Mostre que \left\langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \cdot \operatorname{Re}\left(\vec{g}^{\prime}\right)\right\rangle=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \cdot \vec{g}^{*}\right) e \langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \times \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle= \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \times \vec{g}^{*}\right)
Passo 1
O enunciado dá duas funções vetoriais complexas dependentes de \vec{r} e t:
onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais, \vec{k} é o vetor de onda, \omega a frequência angular e \delta_a,\delta_b constantes de fase. (Aqui coloquei explicitamente o fator i nas exponenciais porque é o uso padrão de notação complexa para fasores.)
O pedido é mostrar duas identidades envolvendo médias temporais (denotadas por \langle\cdot\rangle) e as partes reais:
Fórmula útil e simples: para qualquer número complexo (ou vetor complexo) z vale
\operatorname{Re}(z)=\frac{z+z^{*}}{2},
onde o asterisco indica conjugado complexo. Isso vem da definição de conjugado: z=(\operatorname{Re}z)+i(\operatorname{Im}z) e z^{*}=(\operatorname{Re}z)-i(\operatorname{Im}z); somando-os e dividindo por 2 isolamos a parte real. Aplicando isso a \vec{f} e \vec{g} obtemos
Agora faremos a média temporal de cada termo. Observe a dependência temporal explícita nos exponenciais: cada vetor \vec{f} ou \vec{g} traz um fator \exp\bigl(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta)\bigr). Portanto os termos combinados têm fatores temporais:
\vec{f}\cdot\vec{g} contém um fator \exp\bigl(i(2\vec{k}\cdot\vec{r}-2\omega t+\delta_a+\delta_b)\bigr), ou seja \propto e^{-2i\omega t} (multiplica por coisas independentes de t);
porque e^{i n\omega T}=e^{i n\omega (2\pi/\omega)}=e^{i 2\pi n}=1. Assim qualquer termo com fator e^{\pm 2i\omega t} tem média zero. Logo, ao tirar a média temporal em \operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g}), sobram apenas os termos não oscilatórios:
Mas a soma \vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g} é exatamente 2\operatorname{Re}(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}) (pela definição de parte real aplicada ao escalar complexo \vec{f}\cdot\vec{g}^{*}). Portanto
A dependência temporal de cada termo é análoga ao caso escalar: \vec{f}\times\vec{g} e \vec{f}^{*}\times\vec{g}^{*} oscilam com e^{\pm 2i\omega t} e têm média zero; \vec{f}\times\vec{g}^{*} e \vec{f}^{*}\times\vec{g} são não oscilatórios. Tomando a média temporal:
Novamente a soma \vec{f}\times\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\times\vec{g} é 2\operatorname{Re}(\vec{f}\times\vec{g}^{*}) (parte real aplicada a cada componente do vetor), então chegamos a