1. Considere a equação x^2-S x+P=0, sendo S=x1+x2 e P=x1 cdot x2.
    a) Mostre x1 e x2 são raízes desta equação.
    b) Calcule as coordenadas do vértice da parábola y=x^2+S x+P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação quadrática do tipo x^2 - Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes ( x1 + x2) e P é o produto delas ( x1 cdot x2). O que precisamos fazer aqui são duas coisas:
a) Mostrar que x1 e x2 são de fato as raízes dessa equação.
b) Calcular as coordenadas do vértice da parábola representada por y = x^2 + Sx + P.
Vamos usar conceitos de equações quadráticas e propriedades de grafos de parábolas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a). Queremos mostrar que x1 e x2 são raízes da equação x^2 - Sx + P = 0. Lembra que as raízes de uma equação quadrática ax^2 + bx + c = 0 são os valores de x que satisfazem a equação, ou seja, fazem com que y = 0.

Passo 3

Sabemos que S = x1 + x2 e P = x1 cdot x2. Vamos substituir x1 na equação:
x1^2 - Sx1 + P = 0
Substituímos S e P:
x1^2 - (x1 + x2)x1 + (x1 cdot x2) = 0
Simplificando:
x1^2 - x1^2 - x1x2 + x1x2 = 0 implies 0 = 0
Isso confirma que x1 satisfaz a equação. O mesmo vale para x2.

Passo 4

Agora, para a parte b), queremos encontrar as coordenadas do vértice da parábola y = x^2 + Sx + P. O vértice de uma parábola dada por y = ax^2 + bx + c tem coordenadas (h, k) onde:
h = -b2a
k = y(h)
No nosso caso, a = 1, b = S e c = P.

Passo 5

Calculando h:
h = -S2 cdot 1 = -S2
Agora, vamos calcular k substituindo h na equação da parábola:
k = (-S2)^2 + S(-S2) + P
Simplificando:
k = S^24 - S^22 + P = -S^24 + P

Resposta

a) As raízes da equação x^2 - Sx + P = 0 são x1 e x2.
b) As coordenadas do vértice da parábola y = x^2 + Sx + P são ( -S2, P - S^24 ).

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