Dada a edo
Encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem, forma exata e fator integrador. Vamos reescrever na forma
e verificar exatidão.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma diferencial
, onde
Calculamos
e
. Como não coincidem, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrador dependente só de
,
. Usamos
Integrando,
, logo
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
, obtendo
Agora
e
, confirmando exatidão.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integrando em
,
Usando
,
Então
é constante.
Passo 6
A condição
dá
Multiplicando por 3 e renomeando a constante, a solução geral é
Resposta
e{x3} + x^3\sin(y) = C