Dada a edo
e^x^3+sen(y)+x3 cos (y) d yd x=0
Encontre a solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
e^x^3 + sin(y) + x3cos(y)dydx = 0
O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem, forma exata e fator integrador. Vamos reescrever na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e verificar exatidão.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde
M(x,y) = e^x^3 + sin(y),
N(x,y) = x3cos(y)
Calculamos partial M/partial y = cos(y) e partial N/partial x = tfrac13cos(y). Como não coincidem, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrador dependente só de x, mu(x). Usamos
1mu(x)dmudx = partial M/partial y - partial N/partial xN = cos(y) - tfrac13cos(y)tfracx3cos(y) = 2x
Integrando, ln mu = 2ln x + C, logo mu(x) = x^2.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por x^2, obtendo
tilde M(x,y) = x^2 e^x^3 + x^2sin(y),
tilde N(x,y) = x^33cos(y)
Agora partialtilde M/partial y = x^2cos(y) e partialtilde N/partial x = x^2cos(y), confirmando exatidão.

Passo 5

Existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = tilde M = x^2 e^x^3 + x^2sin(y)
Integrando em x,
Phi(x,y) = integral x^2 e^x^3 dx + integral x^2sin(y) dx = 13e^x^3 + x^33sin(y) + h(y)
Usando partialPhi/partial y = tilde N,
partialPhipartial y = x^33cos(y) + h'(y) = x^33cos(y) implies h'(y)=0
Então h(y) é constante.

Passo 6

A condição Phi(x,y)=C
13e^x^3 + x^33sin(y) = C
Multiplicando por 3 e renomeando a constante, a solução geral é
e^x^3 + x^3sin(y) = C

Resposta

e{x3} + x^3\sin(y) = C

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