Considere a equação t^2 y^prime+2 t y=1.
Mostre que as soluções em I=(0, infty) tendem a zero no infinito.

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem em y(t): t^2y'+2t,y=1, definida para t>0. Vamos resolver usando fator integrante e depois estudar o limite ttoinfty para ver que y(t)to0.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y'+p(t)y=q(t) dividindo tudo por t^2:
y'+2ty=1t^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral2/t,dtr)=exp(2ln t)=t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2. O lado esquerdo vira derivada do produto t^2y:
ddtl(t^2yr)=1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y=integral1,dt=t+C,
onde C é constante de integração. Portanto

Passo 6

A solução geral é
y(t)=t+Ct^2=1t+Ct^2

Passo 7

Para estudar o comportamento quando ttoinfty, observamos que
y(t)to0
e

Assim, qualquer solução da forma acima satisfaz .

Resposta

Todas as soluções da equação satisfazem limttoinftyy(t)=0.

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