Considere a equação
.
Mostre que as soluções em
tendem a zero no infinito.
Mostre que as soluções em
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem em
:
, definida para
. Vamos resolver usando fator integrante e depois estudar o limite
para ver que
.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
A solução geral é
Passo 7
Para estudar o comportamento quando
, observamos que
e
Assim, qualquer solução da forma acima satisfaz .
e
Assim, qualquer solução da forma acima satisfaz
Resposta
Todas as soluções da equação satisfazem
.