Considere a equação y^prime+5 y=2.
Supondo que toda solução dessa equação seja da forma dada no item (a), determine uma que satisfaça y(1)=2. Igualmente, determine uma solução que verifique y(1)=3 y(0).

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial y' + 5y = 2. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação. Vamos precisar encontrar o fator que, ao multiplicar a equação, facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Na forma geral y' + P(t)y = Q(t), aqui temos P(t) = 5 e Q(t) = 2. O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 5 , dt = e^5t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t):
e^5t y' + 5 e^5t y = 2 e^5t
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto e^5t y. Ou seja:
ddt ( e^5t y ) = 2 e^5t

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( e^5t y ) , dt = integral 2 e^5t , dt
A integral do lado esquerdo simplifica para e^5t y, e a integral do lado direito é:
integral 2 e^5t , dt = 25 e^5t + C
Portanto:
e^5t y = 25 e^5t + C

Passo 5

Para encontrar y, dividimos ambos os lados por e^5t:
y = 25 + C e^-5t
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar o valor da constante C.
Primeira condição: y(1) = 2.
Substituindo na solução geral:
2 = 25 + C e^-5 cdot 1
2 - 25 = C e^-5
85 = C e^-5
C = 85 e^5

Passo 7

Portanto, a solução que satisfaz y(1) = 2 é:
y(t) = 25 + 85 e^5 e^-5t = 25 + 85 e^5(1 - t)

Passo 8

Segunda condição: y(1) = 3 y(0).
Primeiro, calculamos y(1) e y(0) usando a solução geral:
y(1) = 25 + C e^-5 cdot 1 = 25 + C e^-5
y(0) = 25 + C e^-5 cdot 0 = 25 + C
De acordo com a condição:
25 + C e^-5 = 3 ( 25 + C )
Resolvendo para C:
25 + C e^-5 = 65 + 3C
C e^-5 - 3C = 65 - 25
C (e^-5 - 3) = 45
C = 45 (e^-5 - 3) = 45 cdot 1e^-5 - 3

Resposta

As soluções procuradas são:
  1. Para y(1) = 2:
y(t) = 25 + 85 e^5(1 - t)
  1. Para y(1) = 3 y(0):
y(t) = 25 + 45(e^-5 - 3) e^-5t

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