Considere a equação
.
Supondo que toda solução dessa equação seja da forma dada no item (a), determine uma que satisfaça
. Igualmente, determine uma solução que verifique
.
Supondo que toda solução dessa equação seja da forma dada no item (a), determine uma que satisfaça
Passo 1
Beleza, temos a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação. Vamos precisar encontrar o fator que, ao multiplicar a equação, facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Na forma geral
, aqui temos
e
. O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é:
Portanto:
Passo 5
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar o valor da constante
.
Primeira condição:
.
Substituindo na solução geral:
Passo 7
Portanto, a solução que satisfaz
é:
Passo 8
Segunda condição:
.
Primeiro, calculamos
e
usando a solução geral:
De acordo com a condição:
Resolvendo para
:
Resposta
As soluções procuradas são:
- Para
:
- Para
: