Considere a equação
(t+1) y^prime prime+t^2 y=0
Determine a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Temos a EDO de 2.º ordem com coeficientes variáveis
(t+1)y'' + t^2y = 0
O conteúdo aqui é transformar essa equação numa equação de Bessel e depois usar as soluções conhecidas de Bessel de ordem pmtfrac13.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação numa forma mais adequada. Dividindo por (t+1) e fazendo a mudança de variável
x = t + 1,
obtemos
y'' + (x-1)^2x,y = 0,
o que é equivalente a
x,y'' + (x-1)^2,y = 0

Passo 3

Para eliminar qualquer termo em y', fazemos a escala de dependente
$$y(x) = x^{-1/2},u(x).
$$
Calculando y(x) = x^-1/2,u(x) e y', substituindo na equação e simplificando, chega-se a uma EDO para y'' que, com a escolha certa de variável, se transforma na equação padrão de Bessel.

Passo 4

Agora introduzimos a nova variável independente
$$z = \frac{2}{3},x^{3/2} = \frac{2}{3}(t+1)^{3/2}.
z = 23,x^3/2 = 23(t+1)^3/2 z2,u’’(z)+z,u’(z)+(z2-\tfrac{1}{9}),u(z)=0,
$$
o que é exatamente a equação de Bessel de ordem u.

Passo 5

A solução geral de Bessel de ordem nu=tfrac13 é
$$u(z)=C_1J_{1/3}(z)+C_2J_{-1/3}(z).
u(z)=C1J1/3(z)+C2J-1/3(z) y(t)=(t+1){-1/2}\Bigl[C_1J_{1/3}\bigl(\tfrac{2}{3}(t+1){3/2}\bigr)+C_2J_{-1/3}\bigl(\tfrac{2}{3}(t+1)^{3/2}\bigr)\Bigr].$$

Passo 6

Assim obtemos a solução geral da EDO original em termos de funções de Bessel de ordem pmtfrac13.

Resposta

y(t)=(t+1)^-1/2l(C1J1/3l(tfrac23(t+1)^3/2r)+C2J-1/3l(tfrac23(t+1)^3/2r)r),
onde Jpm1/3 são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem pm1/3 e C1,C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados