Considere a equação
Determine a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Temos a EDO de 2.º ordem com coeficientes variáveis
O conteúdo aqui é transformar essa equação numa equação de Bessel e depois usar as soluções conhecidas de Bessel de ordem
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação numa forma mais adequada. Dividindo por
e fazendo a mudança de variável
obtemos
o que é equivalente a
Passo 3
Para eliminar qualquer termo em
, fazemos a escala de dependente
$$y(x) = x^{-1/2},u(x).
$$
Calculando e
, substituindo na equação e simplificando, chega-se a uma EDO para
que, com a escolha certa de variável, se transforma na equação padrão de Bessel.
Calculando
Passo 4
Agora introduzimos a nova variável independente
$$z = \frac{2}{3},x^{3/2} = \frac{2}{3}(t+1)^{3/2}.
$$
o que é exatamente a equação de Bessel de ordem .
o que é exatamente a equação de Bessel de ordem
Passo 5
A solução geral de Bessel de ordem
é
$$u(z)=C_1J_{1/3}(z)+C_2J_{-1/3}(z).
Passo 6
Assim obtemos a solução geral da EDO original em termos de funções de Bessel de ordem
.
Resposta
onde