Determine the domain and find the derivative.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos determinar o domínio e a derivada da função
. O conteúdo envolve domínio de funções compostas (logarítmica e raiz) e aplicação da regra da cadeia para derivação.
Passo 2
Determinação do domínio: primeiro olhamos o argumento da raiz
, exigindo
. Isso vale para todo
. Depois, o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo:
para todo
, pois a raiz quadrada de algo não-nulo é positiva. Logo, o domínio é
.
Passo 3
Simplificação da função para derivar com mais facilidade: usamos a propriedade
. Assim,
Passo 4
Cálculo da derivada: aplicamos a derivada de
, que é
, junto com a regra da cadeia. Seja
, então
. Temos:
Resposta
Domínio:
. Derivada:
.