Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln raiz1+x^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos determinar o domínio e a derivada da função f(x)=lnraiz1+x^2. O conteúdo envolve domínio de funções compostas (logarítmica e raiz) e aplicação da regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Determinação do domínio: primeiro olhamos o argumento da raiz raiz1+x^2, exigindo 1+x^2>=0. Isso vale para todo xinR. Depois, o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo: raiz1+x^2>0 para todo x, pois a raiz quadrada de algo não-nulo é positiva. Logo, o domínio é R.

Passo 3

Simplificação da função para derivar com mais facilidade: usamos a propriedade lnl(u^1/2r)=tfrac12ln u. Assim,
f(x)=lnraiz1+x^2=tfrac12ln(1+x^2)

Passo 4

Cálculo da derivada: aplicamos a derivada de ln v, que é v'/v, junto com a regra da cadeia. Seja v(x)=1+x^2, então v'(x)=2x. Temos:
f'(x)=tfrac12cdotv'(x)v(x)=tfrac12cdot2x1+x^2=x1+x^2

Resposta

Domínio: R. Derivada: f'(x)=dfracx1+x^2.

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