Determine the domain and find the derivative.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e a derivada da função
. O conteúdo envolve a definição de domínio de uma função logarítmica (o argumento tem de ser positivo) e a derivação de uma composição de funções (regra da cadeia).
Passo 2
Para o domínio, usamos que o logaritmo está definido somente quando o argumento é positivo:
Como a potência ímpar preserva o sinal, isso equivale a
Logo, o domínio é
Passo 3
Para a derivada, seja
. Então
e aplicamos a regra da cadeia:
- Derivada de
é . - Aqui
.
Portanto,
Essa expressão vale para todo
, que é o domínio encontrado.
Passo 4
Concluímos que o domínio de
é
e a derivada simplificada é
.
Resposta
Domínio:
.
Derivada: .
Derivada: