Determine the domain and find the derivative.
f(x)=ln [(x+1)^3].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a derivada da função f(x)=lnl[(x+1)^3r]. O conteúdo envolve a definição de domínio de uma função logarítmica (o argumento tem de ser positivo) e a derivação de uma composição de funções (regra da cadeia).

Passo 2

Para o domínio, usamos que o logaritmo está definido somente quando o argumento é positivo:
(x+1)^3>0
Como a potência ímpar preserva o sinal, isso equivale a
x+1>0
Logo, o domínio é
x>-1

Passo 3

Para a derivada, seja u(x)=(x+1)^3. Então f(x)=ln u(x) e aplicamos a regra da cadeia:
  1. Derivada de ln u é u'/u.
  2. Aqui u'(x)=3(x+1)^2.
    Portanto,
f'(x)=u'(x)u(x)=3(x+1)^2(x+1)^3=3x+1
Essa expressão vale para todo x>-1, que é o domínio encontrado.

Passo 4

Concluímos que o domínio de f é x>-1 e a derivada simplificada é f'(x)=3/(x+1).

Resposta

Domínio: x>-1.
Derivada: f'(x)=3x+1.

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