Considere a equação
Resolva o problema para
.
Passo 1
A questão é a equação de Klein–Gordon unidimensional
com as condições iniciais usuais
Vamos usar a transformada de Fourier em
para reduzir a PDE a uma ODE em
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Fourier espacial
Transformando a PDE obtemos
uma ODE em
de coeficientes constantes.
Passo 3
A ODE é
A solução geral é
Pelas condições iniciais em Fourier:
Passo 4
Fazendo a transformada inversa:
Como
é proporcional a
, o integral colapsa em
e
.
Passo 5
Portanto
ou seja a solução não depende de
e é
Resposta
u(x,t)=\sin t