Considere a equação
ut t(x, t)-4 ux x(x, t)+u(x, t)=0
Resolva o problema para g(x)=1.

Passo 1

A questão é a equação de Klein–Gordon unidimensional
utt(x,t)-4,uxx(x,t)+u(x,t)=0,
com as condições iniciais usuais
u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x)=1
Vamos usar a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma ODE em t.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier espacial
widehat u(xi,t)=integral-infty^+inftyu(x,t)e^-ixi x,dx
Transformando a PDE obtemos
widehat utt(xi,t)+l(1+4xi^2r)widehat u(xi,t)=0,
uma ODE em t de coeficientes constantes.

Passo 3

A ODE é
widehat utt+omega^2(xi),widehat u=0, omega(xi)=raiz1+4xi^2
A solução geral é
widehat u(xi,t)=A(xi)cosl(omega tr)+B(xi)sinl(omega tr)
Pelas condições iniciais em Fourier:
widehat u(xi,0)=0implies A(xi)=0, widehat ut(xi,0)=widehatg(xi)=widehat1(xi)=2pi,de

Passo 4

Fazendo a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^+inftywidehat u(xi,t)e^ixi x,dxi =12piintegral-infty^+inftyB(xi)sin(omega t)e^ixi x,dxi
Como B(xi) é proporcional a de, o integral colapsa em xi=0 e omega(0)=1.

Passo 5

Portanto
u(x,t)=12picdot2picdot11sin(1,t)=sin t,
ou seja a solução não depende de x e é
u(x,t)=sin t

Resposta

u(x,t)=\sin t

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