Encontre, em cada item, a solução do problema de Cauchy, usando o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução particular da equação não homogênea.
ly^prime prime-2 y^prime+y=x e^x+4 y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Temos o problema de Cauchy
y'' - 2y' + y = x e^x + 4, y(0)=1, y'(0)=1
O conteúdo é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea associada é y'' - 2y' + y = 0. O polinômio característico é r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2, raiz dupla r=1, logo
yc = (C1 + C2 x)e^x

Passo 3

Para a parte particular, como temos x e^x e uma constante, e e^x está na homogênea com multiplicidade 2, usamos o ansatz
yp = (Ax^3 + Bx^2)e^x + D

Passo 4

Aplicando o operador L[y]=y''-2y'+y ao termo (Ax^3+Bx^2)e^x e usando L[U(x)e^x]=U''(x)e^x, obtemos
L[(Ax^3+Bx^2)e^x] = (6Ax+2B)e^x
Isso deve igualar x e^x, dando 6A=1, 2B=0 e portanto A=1/6, B=0. Para D, L[D]=D=4 implica D=4.

Passo 5

A solução geral fica
y(x) = yc + yp = (C1 + C2 x)e^x + x^36e^x + 4

Passo 6

Impondo as condições iniciais: de y(0)=1 vem C1+4=1, logo C1=-3. De y'(0)=1 vem, ao derivar e avaliar em 0, y'(0)=C1+C2=1, logo C2=4.

Resposta

y(x)=e^xl(-3+4x+x^36r)+4

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