Encontre, em cada item, a solução do problema de Cauchy, usando o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução particular da equação não homogênea.
Passo 1
Temos o problema de Cauchy
O conteúdo é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação homogênea associada é
. O polinômio característico é
, raiz dupla
, logo
Passo 3
Para a parte particular, como temos
e uma constante, e
está na homogênea com multiplicidade 2, usamos o ansatz
Passo 4
Aplicando o operador
ao termo
e usando
, obtemos
Isso deve igualar
Passo 5
A solução geral fica
Passo 6
Impondo as condições iniciais: de
vem
, logo
. De
vem, ao derivar e avaliar em 0,
, logo
.