Considere o problema de Dirichlet no retângulo:
lll ux x(x, y)+uy y(x, y)=0, & & 0
Encontre a solução no caso em que a=b=2 e
h(y)= -1, & se 0 <= y <= 1 1, & se 1 <= y <= 2

Passo 1

O problema pede para encontrar uma função u(x,y) que satisfaça a equação de Laplace uxx+uyy=0 no retângulo 0, com condições de contorno u(0,y)=h(y), u(2,y)=0, u(x,0)=0 e u(x,2)=0, onde
h(y)=-1, &0<= y<=1, 1,&1
Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em y.

Passo 2

Assumimos u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na equação de Laplace e dividindo por XY obtemos
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0
cada termo deve ser uma constante -lambda. Em y temos
Y''+lambda Y=0, Y(0)=Y(2)=0,
cuja autofunção é
[
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)^2,
\quad Y_n(y)=\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\Bigr),
;n=1,2,\dots

Passo 3

Para cada n, em x vem
X''-l(tfracnpi2r)^2X=0
com solução geral X=Ae^(npi/2)x+Be^-(npi/2)x. A condição u(2,y)=0 exige
X(2)=0 Rightarrow A e^npi+B e^-npi=0
logo fica mais prático escrever
Xn(x)=Cnsinhl(tfracnpi2(2-x)r),
de modo que Xn(2)=0. Assim
u(x,y)=sumn=1^infty Cnsinhl(tfracnpi2(2-x)r)sinl(tfracnpi2yr)

Passo 4

Impondo u(0,y)=h(y) obtemos a série de Fourier-seno
h(y)=sumn=1^infty Cnsinh(npi)sinl(tfracnpi2yr)
Assim
Cn=1sinh(npi)integral0^2h(y)sinl(tfracnpi2yr),dy

Passo 5

Vamos calcular
bn=integral0^2h(y)sinl(tfracnpi2yr)dy =-integral0^1sinl(tfracnpi2yr)dy +integral1^2sinl(tfracnpi2yr)dy
Fazendo as integrais e simplificando chega-se a
bn=2npil(2costfracnpi2-1-(-1)^nr)
Analise mostra que bnneq0 só se n=4k+2, e nesse caso
b4k+2=-8(4k+2)pi

Passo 6

Portanto,
C4k+2=b4k+2sinh((4k+2)pi) =-8(4k+2)pisinh((4k+2)pi),
e Cn=0 para outros n. Logo a solução final é

Passo 7

final_answer

Passo 8

u(x,y)=-sumk=0^infty8(4k+2)pisinhl((4k+2)pir) sinhl((2k+1)pi(2-x)r)sinl((2k+1)pi yr)

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