Considere a equação A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+D x y+E x z+F y z+G x+H y+I z+J=0.
Se B=1, C=-1 e A=D=E=F=G=H=I=J=0, temos:

Passo 1

O enunciado nos dá a forma geral de uma quádricas em (x,y,z):
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+D x y+E x z+F y z+G x+H y+I z+J=0,
e pede que, ao fixar B=1, C=-1 e todos os outros coeficientes nulos, identifiquemos qual superfície obtivemos. Vamos usar álgebra elementar (simplificação e fatoração) e interpretação geométrica de quádricas.

Passo 2

Substituindo A=D=E=F=G=H=I=J=0, B=1 e C=-1 na equação geral, obtemos
0\cdot x^{2} + 1\cdot y^{2} + (-1)\cdot z^{2} + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,
isto é,
y^{2} - z^{2} = 0.

Passo 3

Reconhecemos que y^{2}-z^{2} é uma diferença de quadrados, que fatoramos como
y^{2}-z^{2} = (y - z)(y + z).

Passo 4

A equação (y - z)(y + z)=0\) equivale ao sistema \[\begin{cases} y - z = 0,\\\ \text{ou}\\\ y + z = 0. \end{cases}
Cada fator define um plano: o primeiro plano é y = z\] e o segundo plano é \(y = -\,z. Como não há restrição em x, essas duas retas-planos se estendem paralelamente ao eixo x.

Resposta

A superfície é a união de dois planos:
y = z \quad\text{e}\quad y = -\,z.

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