Considere a equação
Mostre que se
e
são linearmente independentes, então
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade entre duas combinações lineares:
As informações relevantes fornecidas são:
-
são vetores linearmente independentes. -
são escalares (supõe-se no mesmo corpo, por exemplo ).
O que o problema pede: mostrar que
Passo 2
Definição útil (explicada de forma simples): diremos que vetores
são linearmente independentes quando a única forma de escrever o vetor nulo
como combinação linear deles é com todos os coeficientes nulos. Em símbolos:
Aqui
são escalares. O vetor nulo
é o vetor cujas componentes são todas zero. Essa definição é o coração da argumentação que vamos usar.
Passo 3
Transformação algébrica da igualdade dada: subtrai-se
de ambos os lados da igualdade para agrupar tudo em um lado:
Usando a distributividade (somar coeficientes multiplicando cada vetor), isso fica
Aqui fizemos apenas operações algébricas elementares com vetores: subtrair combinações lineares resulta em uma nova combinação linear cujos coeficientes são as diferenças.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de independência linear (Passo 2) à combinação encontrada no Passo 3. Como
são linearmente independentes, a única maneira de obter o vetor nulo pela combinação
é ter
. No nosso caso identificamos
Portanto, pela independência linear deve ocorrer
Passo 5
Das igualdades do Passo 4 segue imediatamente que
Isto conclui a demonstração: coeficientes de uma representação única por uma base (ou por um conjunto independente) são iguais.
Passo 6
Para fixar a ideia, pense no caso concreto em
com a base canônica
. Se
isso significa em termos de componentes que
, logo
. A mesma razão é usada acima: vetores independentes obrigam os coeficientes da combinação que dá
a serem todos zero.