Considere a equação
x_{1} \vec{v}+y_{1} \vec{u}+z_{1} \vec{w}=x_{2} \vec{v}+y_{2} \vec{u}+z_{2} \vec{w}
Mostre que se \vec{v}, \vec{u} e \vec{w} são linearmente independentes, então
x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2} \text { e } z_{1}=z_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre duas combinações lineares:
x_{1}\vec{v}+y_{1}\vec{u}+z_{1}\vec{w}=x_{2}\vec{v}+y_{2}\vec{u}+z_{2}\vec{w}.
As informações relevantes fornecidas são:
  • \vec{v},\vec{u},\vec{w} são vetores linearmente independentes.
  • x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2} são escalares (supõe-se no mesmo corpo, por exemplo \mathbb{R}).
    O que o problema pede: mostrar que
x_{1}=x_{2},\qquad y_{1}=y_{2},\qquad z_{1}=z_{2}.

Passo 2

Definição útil (explicada de forma simples): diremos que vetores \vec{v},\vec{u},\vec{w} são linearmente independentes quando a única forma de escrever o vetor nulo \vec{0} como combinação linear deles é com todos os coeficientes nulos. Em símbolos:
\text{Se } a\vec{v}+b\vec{u}+c\vec{w}=\vec{0}\text{, então }a=0,\\ b=0,\\ c=0.ã
Aqui a,b,c são escalares. O vetor nulo \vec{0} é o vetor cujas componentes são todas zero. Essa definição é o coração da argumentação que vamos usar.

Passo 3

Transformação algébrica da igualdade dada: subtrai-se x_{2}\vec{v}+y_{2}\vec{u}+z_{2}\vec{w} de ambos os lados da igualdade para agrupar tudo em um lado:
x_{1}\vec{v}+y_{1}\vec{u}+z_{1}\vec{w}-\bigl(x_{2}\vec{v}+y_{2}\vec{u}+z_{2}\vec{w}\bigr)=\vec{0}.
Usando a distributividade (somar coeficientes multiplicando cada vetor), isso fica
(x_{1}-x_{2})\vec{v}+(y_{1}-y_{2})\vec{u}+(z_{1}-z_{2})\vec{w}=\vec{0}.
Aqui fizemos apenas operações algébricas elementares com vetores: subtrair combinações lineares resulta em uma nova combinação linear cujos coeficientes são as diferenças.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de independência linear (Passo 2) à combinação encontrada no Passo 3. Como \vec{v},\vec{u},\vec{w} são linearmente independentes, a única maneira de obter o vetor nulo pela combinação
(a)\\ \,a\vec{v}+b\vec{u}+c\vec{w}=\vec{0}
é ter a=b=c=0. No nosso caso identificamos
a=x_{1}-x_{2},\qquad b=y_{1}-y_{2},\qquad c=z_{1}-z_{2}.
Portanto, pela independência linear deve ocorrer
x_{1}-x_{2}=0,\qquad y_{1}-y_{2}=0,\qquad z_{1}-z_{2}=0.

Passo 5

Das igualdades do Passo 4 segue imediatamente que
x_{1}=x_{2},\qquad y_{1}=y_{2},\qquad z_{1}=z_{2}.
Isto conclui a demonstração: coeficientes de uma representação única por uma base (ou por um conjunto independente) são iguais.

Passo 6

Para fixar a ideia, pense no caso concreto em \mathbb{R}^{3} com a base canônica \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}. Se
a\vec{e}_{1}+b\vec{e}_{2}+c\vec{e}_{3}=\vec{0},
isso significa em termos de componentes que (a,b,c)=(0,0,0), logo a=b=c=0. A mesma razão é usada acima: vetores independentes obrigam os coeficientes da combinação que dá \vec{0} a serem todos zero.

Resposta

x_{1}=x_{2}
y_{1}=y_{2}
z_{1}=z_{2}

Exercícios relacionados