Se
e
são subconjuntos de
, então
.
- Verdadeiro
- Falso
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subconjuntos de um espaço vetorial
e pergunta se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Informação dada:
-
e . - A notação
indica um subconjunto associado (provavelmente o fecho gerador / span) — isto é a informação que vamos usar explicitamente na resolução.
O que é pedido:
- Determinar se a igualdade acima vale para quaisquer
.
Passo 2
Definições importantes (explicadas com calma):
- Definição de span: para um subconjunto
, o conjunto (lê‑se “span de ” ou “fecho linear de ”) é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de . Em fórmula:
onde
é o corpo dos escalares (por exemplo
ou
). Explicando: cada elemento de
é uma soma finita de vetores de
multiplicados por escalares.
- Definição de soma de subespaços: se
e são subespaços de , então
Ou seja, soma ponto a ponto; cada elemento de
é soma de um vetor de
com um vetor de
.
Passo 3
Estratégia do proof: mostrar que cada lado está contido no outro (duas inclusões). Primeiro mostraremos
Prova dessa inclusão: tome um elemento arbitrário
. Por definição de soma, existem
e
tais que
.
Como , existe uma combinação linear finita
Como
Como
, existe uma combinação linear finita
Somando:
Observe que todos os vetores usados nas somas são elementos de
. Logo
é uma combinação linear finita de elementos de
, isto é
. Como
foi arbitrário, concluímos a inclusão desejada:
Passo 4
Agora mostramos a inclusão contrária
Prova: tome um elemento arbitrário
. Por definição de span, existe uma combinação linear finita de elementos de
:
Cada
pertence ou a
ou a
. Então podemos separar a soma em duas partes: uma soma sobre os termos que vêm de
e outra sobre os termos que vêm de
. Escrevendo isso:
onde os
e os
. Agora a primeira soma é um elemento de
e a segunda soma é um elemento de
. Logo
é soma de um elemento de
com um elemento de
, isto é
. Como
foi arbitrário, temos a inclusão:
Passo 5
Juntando as duas inclusões das etapas anteriores obtemos a igualdade dos conjuntos:
Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar: pense em
,
,
. Então
é
(todas as combinações de
e
), e
também é
porque soma de
com
gera todo
. Outro exemplo: se
e
, ambos os lados dão a mesma reta gerada por
.
Passo 6
Resumo final do raciocínio (bem curto): todo elemento de
é combinação linear de vetores de
, e toda combinação linear de elementos de
pode ser dividida em uma combinação de
mais uma combinação de
. Portanto os dois conjuntos coincidem para quaisquer
.
Resposta
Verdadeiro