Se S_{1} e S_{2} são subconjuntos de V, então \left[S_{1} \cup S_{2}\right]=\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá que S_{1} e S_{2} são subconjuntos de um espaço vetorial V e pergunta se a igualdade
\left[S_{1}\cup S_{2}\right]=\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]
é verdadeira ou falsa. Informação dada:
  • S_{1}\subseteq V e S_{2}\subseteq V.
  • A notação \left[\,\cdot\,\right] indica um subconjunto associado (provavelmente o fecho gerador / span) — isto é a informação que vamos usar explicitamente na resolução.
O que é pedido:
  • Determinar se a igualdade acima vale para quaisquer S_{1},S_{2}\subseteq V.

Passo 2

Definições importantes (explicadas com calma):
  • Definição de span: para um subconjunto S\subseteq V, o conjunto \left[S\right] (lê‑se “span de S” ou “fecho linear de S”) é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de S. Em fórmula:
\left[S\right]=\Big\{\sum_{i=1}^{k}\alpha_i s_i \mid k\in\mathbb{N},\\ \alpha_i\in\mathbb{F},\\ s_i\in S\Big\},
onde \mathbb{F} é o corpo dos escalares (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Explicando: cada elemento de \left[S\right] é uma soma finita de vetores de S multiplicados por escalares.
  • Definição de soma de subespaços: se U e W são subespaços de V, então
U+W=\{u+w\mid u\in U,\\ w\in W\}.
Ou seja, soma ponto a ponto; cada elemento de U+W é soma de um vetor de U com um vetor de W.

Passo 3

Estratégia do proof: mostrar que cada lado está contido no outro (duas inclusões). Primeiro mostraremos
\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\cup S_{2}\right].
Prova dessa inclusão: tome um elemento arbitrário x\in\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]. Por definição de soma, existem u\in\left[S_{1}\right] e v\in\left[S_{2}\right] tais que x=u+v.
Como u\in\left[S_{1}\right], existe uma combinação linear finita
u=\sum_{i=1}^{m}\alpha_i s_{1,i},\qquad s_{1,i}\in S_{1},\\ \alpha_i\in\mathbb{F}.
Como v\in\left[S_{2}\right], existe uma combinação linear finita
v=\sum_{j=1}^{n}\beta_j s_{2,j},\qquad s_{2,j}\in S_{2},\\ \beta_j\in\mathbb{F}.
Somando:
x=u+v=\sum_{i=1}^{m}\alpha_i s_{1,i}+\sum_{j=1}^{n}\beta_j s_{2,j}.
Observe que todos os vetores usados nas somas são elementos de S_{1}\cup S_{2}. Logo x é uma combinação linear finita de elementos de S_{1}\cup S_{2}, isto é x\in\left[S_{1}\cup S_{2}\right]. Como x foi arbitrário, concluímos a inclusão desejada:
\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\cup S_{2}\right].

Passo 4

Agora mostramos a inclusão contrária
\left[S_{1}\cup S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
Prova: tome um elemento arbitrário y\in\left[S_{1}\cup S_{2}\right]. Por definição de span, existe uma combinação linear finita de elementos de S_{1}\cup S_{2}:
y=\sum_{k=1}^{p}\gamma_k t_k,\qquad t_k\in S_{1}\cup S_{2},\\ \gamma_k\in\mathbb{F}.
Cada t_k pertence ou a S_{1} ou a S_{2}. Então podemos separar a soma em duas partes: uma soma sobre os termos que vêm de S_{1} e outra sobre os termos que vêm de S_{2}. Escrevendo isso:
y=\Big(\sum_{i=1}^{m}\alpha_i s_{1,i}\Big)+\Big(\sum_{j=1}^{n}\beta_j s_{2,j}\Big),
onde os s_{1,i}\in S_{1} e os s_{2,j}\in S_{2}. Agora a primeira soma é um elemento de \left[S_{1}\right] e a segunda soma é um elemento de \left[S_{2}\right]. Logo y é soma de um elemento de \left[S_{1}\right] com um elemento de \left[S_{2}\right], isto é y\in\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]. Como y foi arbitrário, temos a inclusão:
\left[S_{1}\cup S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].

Passo 5

Juntando as duas inclusões das etapas anteriores obtemos a igualdade dos conjuntos:
\left[S_{1}\cup S_{2}\right]=\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar: pense em V=\mathbb{R}^2, S_{1}=\{(1,0)\}, S_{2}=\{(0,1)\}. Então \left[S_{1}\cup S_{2}\right] é \mathbb{R}^2 (todas as combinações de (1,0) e (0,1)), e \left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right] também é \mathbb{R}^2 porque soma de \operatorname{span}\{(1,0)\} com \operatorname{span}\{(0,1)\} gera todo \mathbb{R}^2. Outro exemplo: se S_{1}=\{(1,0)\} e S_{2}=\{(2,0)\}, ambos os lados dão a mesma reta gerada por (1,0).

Passo 6

Resumo final do raciocínio (bem curto): todo elemento de \left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right] é combinação linear de vetores de S_{1}\cup S_{2}, e toda combinação linear de elementos de S_{1}\cup S_{2} pode ser dividida em uma combinação de S_{1} mais uma combinação de S_{2}. Portanto os dois conjuntos coincidem para quaisquer S_{1},S_{2}\subseteq V.

Resposta

Verdadeiro

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