Sejam \vec{v}_{1}=(1,2,5), \vec{v}_{2}=(7,-1,5) e \vec{v}_{3}=(1,-1,-1) vetores de \mathbb{R}^{3}.
(a) Verifique se vetores são l.i. ou l.d…
(b) Caso os vetores sejam l.d. escreva um dos vetores como combinação linear dos outros dois.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores de \mathbb{R}^{3}:
O que é pedido:
(a) Verificar se os vetores são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).
(b) Caso sejam l.d., escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o conceito que vamos usar (de forma direta e prática). Dizemos que vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são linearmente dependentes se existem escalares c_1,c_2,c_3, nem todos zero, tais que
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+c_3\vec{v}_3=\vec{0}.
Em \mathbb{R}^3, um teste simples é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são linearmente independentes. Se o determinante for zero, são linearmente dependentes (existe relação não trivial entre eles).
Passo 3
Formo a matriz A cujas colunas são \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3:
Como \det(A)=0, concluímos que os vetores são linearmente dependentes. Isso responde a parte (a): são l.d. Agora precisamos, na parte (b), encontrar explicitamente uma relação linear entre eles — ou seja, escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois.
Passo 6
Vou procurar coeficientes a,b\) tais que
\[a\vec{v}_1+b\vec{v}_3=\vec{v}_2,
porque é natural tentar expressar \vec{v}_2 pelos outros dois (e isso costuma dar números inteiros quando há dependência simples). Escrevendo componentes:
Substituindo a=2\] na primeira equação, \(2+b=7 dá b=5. Verifico na terceira equação: 5a-b=5\cdot2-5=10-5=5, que bate com o lado direito. Logo os coeficientes estão corretos.]
Passo 7
Portanto obtemos a relação inteira e limpa
\vec{v}_2=2\vec{v}_1+5\vec{v}_3.
Isto mostra explicitamente a dependência linear: \vec{v}_2-2\vec{v}_1-5\vec{v}_3=\vec{0}, com coeficientes não todos nulos.
Resposta
(a) Os vetores são linearmente dependentes.
(b) \vec{v}_{2}=2\vec{v}_{1}+5\vec{v}_{3}