Sejam \vec{v}_{1}=(1,2,5), \vec{v}_{2}=(7,-1,5) e \vec{v}_{3}=(1,-1,-1) vetores de \mathbb{R}^{3}.
(a) Verifique se vetores são l.i. ou l.d…
(b) Caso os vetores sejam l.d. escreva um dos vetores como combinação linear dos outros dois.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores de \mathbb{R}^{3}:
\vec{v}_{1}=(1,2,5),\qquad \vec{v}_{2}=(7,-1,5),\qquad \vec{v}_{3}=(1,-1,-1).
O que é pedido:
(a) Verificar se os vetores são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).
(b) Caso sejam l.d., escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o conceito que vamos usar (de forma direta e prática). Dizemos que vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são linearmente dependentes se existem escalares c_1,c_2,c_3, nem todos zero, tais que
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+c_3\vec{v}_3=\vec{0}.
Em \mathbb{R}^3, um teste simples é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são linearmente independentes. Se o determinante for zero, são linearmente dependentes (existe relação não trivial entre eles).

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 7 & 1\\[4pt] 2 & -1 & -1\\[4pt] 5 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 então l.i.; se \det(A)=0 então l.d.]

Passo 4

Calculo o determinante expandindo pela primeira linha (mostrando cada menor):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt]5 & -1\end{pmatrix} -7\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]5 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]5 & 5\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt]5 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-(-1)(5)=1+5=6,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]5 & -1\end{pmatrix}=2(-1)-(-1)(5)=-2+5=3,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]5 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-(-1)\cdot5=10+5=15.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot6-7\cdot3+1\cdot15=6-21+15=0.]

Passo 5

Como \det(A)=0, concluímos que os vetores são linearmente dependentes. Isso responde a parte (a): são l.d. Agora precisamos, na parte (b), encontrar explicitamente uma relação linear entre eles — ou seja, escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois.

Passo 6

Vou procurar coeficientes a,b\) tais que \[a\vec{v}_1+b\vec{v}_3=\vec{v}_2,
porque é natural tentar expressar \vec{v}_2 pelos outros dois (e isso costuma dar números inteiros quando há dependência simples). Escrevendo componentes:
a(1,2,5)+b(1,-1,-1)=(7,-1,5).
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} a+b=7,\\[4pt] 2a-b=-1,\\[4pt] 5a-b=5. \end{cases}
Resolvo as duas primeiras equações primeiro: somando a primeira com a segunda,
(a+b)+(2a-b)=7+(-1)\quad\Rightarrow\quad 3a=6\quad\Rightarrow\quad a=2.
Substituindo a=2\] na primeira equação, \(2+b=7 b=5. Verifico na terceira equação: 5a-b=5\cdot2-5=10-5=5, que bate com o lado direito. Logo os coeficientes estão corretos.]

Passo 7

Portanto obtemos a relação inteira e limpa
\vec{v}_2=2\vec{v}_1+5\vec{v}_3.
Isto mostra explicitamente a dependência linear: \vec{v}_2-2\vec{v}_1-5\vec{v}_3=\vec{0}, com coeficientes não todos nulos.

Resposta

(a) Os vetores são linearmente dependentes.
(b) \vec{v}_{2}=2\vec{v}_{1}+5\vec{v}_{3}

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