Dadas as bases B=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\} e C=\{(7,7,0),(-3,-1,5),(12,6,-7)\} do \mathbb{R}^{3} determine a matriz mudança de base de B para C, M_{B C}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os vetores diretamente do enunciado):
  • Base B com vetores
b_1=(1,2,1),\qquad b_2=(0,1,3),\qquad b_3=(2,1,0).
  • Base C com vetores
c_1=(7,7,0),\qquad c_2=(-3,-1,5),\qquad c_3=(12,6,-7).
O enunciado pede a matriz de mudança de base de B para C, que chamamos de M_{BC}. Isto é, a matriz tal que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3,
[v]_C = M_{BC}\,[v]_B.
Aqui [v]_B são as coordenadas de v na base B e [v]_C são as coordenadas de v na base C.

Passo 2

Estratégia e fórmula-chave (sem pular etapas): montar as matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas canônicas, e usar a relação entre essas matrizes.
Definições e ideia (explicando as notações):
  • Seja P_B a matriz 3\times3 cujas colunas são b_1,b_2,b_3 (escritos em coordenadas canônicas). Assim, para qualquer vetor v,
v = P_B\,[v]_B.
  • Seja P_C a matriz 3\times3 cujas colunas são c_1,c_2,c_3. Então
v = P_C\,[v]_C.
Igualando v obtemos P_B\,[v]_B = P_C\,[v]_C. Resolvendo para [v]_C,
[v]_C = P_C^{-1} P_B\,[v]_B.
Portanto a matriz de mudança de base que queremos é
M_{BC} = P_C^{-1} P_B.
Vou calcular P_C^{-1}P_B passo a passo (primeiro montando P_B,P_C, depois invertendo P_C e por fim multiplicando).

Passo 3

Montar as matrizes P_B e P_C (colunas são os vetores das bases, em coordenadas canônicas):
P_B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_C = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 12\\[4pt] 7 & -1 & 6\\[4pt] 0 & 5 & -7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificar que P_C é invertível calculando \det(P_C). Cálculo usando expansão por cofatores na primeira linha:
\det(P_C)=7\det\begin{pmatrix}-1 & 6\\[2pt]5 & -7\end{pmatrix} -(-3)\det\begin{pmatrix}7 & 6\\[2pt]0 & -7\end{pmatrix} +12\det\begin{pmatrix}7 & -1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 6\\[2pt]5 & -7\end{pmatrix}=(-1)(-7)-6\cdot5=7-30=-23,
\det\begin{pmatrix}7 & 6\\[2pt]0 & -7\end{pmatrix}=7(-7)-6\cdot0=-49,
\det\begin{pmatrix}7 & -1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix}=7\cdot5-(-1)\cdot0=35.
Substituindo:
\det(P_C)=7(-23)+3(-49)+12(35)=-161-147+420=112.
Como \det(P_C)=112\neq0, P_C é invertível.]

Passo 5

Calcular a matriz adjunta (adjugate) de P_C — isto é, a matriz transposta da matriz de cofatores. Vou calcular os cofatores um a um (mostrar o menor e o sinal).
Cofatores (mostrar menor e resultado):
  • C_{11}=\det\begin{pmatrix}-1&6\\[2pt]5&-7\end{pmatrix}=-23 e sinal +\Rightarrow cofator =-23.
  • C_{12}=\det\begin{pmatrix}7&6\\[2pt]0&-7\end{pmatrix}=-49 e sinal -\Rightarrow cofator =+49.
  • C_{13}=\det\begin{pmatrix}7&-1\\[2pt]0&5\end{pmatrix}=35 e sinal +\Rightarrow cofator =35.
  • C_{21}=\det\begin{pmatrix}-3&12\\[2pt]5&-7\end{pmatrix}=-39 e sinal -\Rightarrow cofator =39.
  • C_{22}=\det\begin{pmatrix}7&12\\[2pt]0&-7\end{pmatrix}=-49 e sinal +\Rightarrow cofator =-49.
  • C_{23}=\det\begin{pmatrix}7&-3\\[2pt]0&5\end{pmatrix}=35 e sinal -\Rightarrow cofator =-35.
  • C_{31}=\det\begin{pmatrix}-3&12\\[2pt]-1&6\end{pmatrix}=-6 e sinal +\Rightarrow cofator =-6.
  • C_{32}=\det\begin{pmatrix}7&12\\[2pt]7&6\end{pmatrix}=-42 e sinal -\Rightarrow cofator =42.
  • C_{33}=\det\begin{pmatrix}7&-3\\[2pt]7&-1\end{pmatrix}=14 e sinal +\Rightarrow cofator =14.
Matriz de cofatores:
\begin{pmatrix} -23 & 49 & 35\\[4pt] 39 & -49 & -35\\[4pt] -6 & 42 & 14 \end{pmatrix}.
Adjugate (transposta da matriz de cofatores):
\operatorname{adj}(P_C)= \begin{pmatrix} -23 & 39 & -6\\[4pt] 49 & -49 & 42\\[4pt] 35 & -35 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular P_C^{-1} usando \;P_C^{-1}=\dfrac{1}{\det(P_C)}\operatorname{adj}(P_C)\;. Como \det(P_C)=112,
P_C^{-1}=\frac{1}{112} \begin{pmatrix} -23 & 39 & -6\\[4pt] 49 & -49 & 42\\[4pt] 35 & -35 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calcular M_{BC}=P_C^{-1}P_B. É conveniente primeiro multiplicar \operatorname{adj}(P_C) por P_B e depois dividir por 112. Vou fazer as multiplicações linha por coluna com as entradas explícitas.
Lembrando
P_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Calcular \operatorname{adj}(P_C)\,P_B:
  • Primeira linha de \operatorname{adj}(P_C) é (-23,39,-6).
    • Coluna 1 de P_B é (1,2,1). Produto escalar: -23\cdot1+39\cdot2+(-6)\cdot1= -23+78-6=49.
    • Coluna 2 de P_B é (0,1,3). Produto: -23\cdot0+39\cdot1+(-6)\cdot3=0+39-18=21.
    • Coluna 3 de P_B é (2,1,0). Produto: -23\cdot2+39\cdot1+(-6)\cdot0=-46+39+0=-7.
  • Segunda linha de \operatorname{adj}(P_C) é (49,-49,42).
    • Com coluna 1: 49\cdot1+(-49)\cdot2+42\cdot1=49-98+42=-7.
    • Com coluna 2: 49\cdot0+(-49)\cdot1+42\cdot3=0-49+126=77.
    • Com coluna 3: 49\cdot2+(-49)\cdot1+42\cdot0=98-49+0=49.
  • Terceira linha de \operatorname{adj}(P_C) é (35,-35,14).
    • Com coluna 1: 35\cdot1+(-35)\cdot2+14\cdot1=35-70+14=-21.
    • Com coluna 2: 35\cdot0+(-35)\cdot1+14\cdot3=0-35+42=7.
    • Com coluna 3: 35\cdot2+(-35)\cdot1+14\cdot0=70-35+0=35.
Portanto
\operatorname{adj}(P_C)\,P_B = \begin{pmatrix} 49 & 21 & -7\\[4pt] -7 & 77 & 49\\[4pt] -21 & 7 & 35 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Dividir por 112 para obter M_{BC}:
M_{BC}=\frac{1}{112} \begin{pmatrix} 49 & 21 & -7\\[4pt] -7 & 77 & 49\\[4pt] -21 & 7 & 35 \end{pmatrix}.
Simplificando as frações (dividindo por 7 quando possível):
M_{BC}= \begin{pmatrix} \frac{49}{112} & \frac{21}{112} & \frac{-7}{112}\\[6pt] \frac{-7}{112} & \frac{77}{112} & \frac{49}{112}\\[6pt] \frac{-21}{112} & \frac{7}{112} & \frac{35}{112} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{16} & \frac{3}{16} & -\frac{1}{16}\\[6pt] -\frac{1}{16} & \frac{11}{16} & \frac{7}{16}\\[6pt] -\frac{3}{16} & \frac{1}{16} & \frac{5}{16} \end{pmatrix}.]

Passo 9

Checagem rápida (válida para prova): aplicar P_C à primeira coluna de M_{BC} deve dar b_1. A primeira coluna de M_{BC} é \left(\tfrac{7}{16},-\tfrac{1}{16},-\tfrac{3}{16}\right). Multiplicando por P_C obtém-se
P_C\begin{pmatrix}\tfrac{7}{16}\\[4pt]-\tfrac{1}{16}\\[4pt]-\tfrac{3}{16}\end{pmatrix} =\frac{1}{16}\begin{pmatrix}49+3-36\\[4pt]49+1-18\\[4pt]0-5+21\end{pmatrix} =\frac{1}{16}\begin{pmatrix}16\\[4pt]32\\[4pt]16\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}=b_1,
confirmando que a transformação está correta (pode testar outras colunas igualmente na prova).]

Resposta

M_{BC}= \begin{pmatrix} \frac{7}{16} & \frac{3}{16} & -\frac{1}{16}\\[6pt] -\frac{1}{16} & \frac{11}{16} & \frac{7}{16}\\[6pt] -\frac{3}{16} & \frac{1}{16} & \frac{5}{16} \end{pmatrix}]

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