Dadas as bases B=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\} e C=\{(7,7,0),(-3,-1,5),(12,6,-7)\} do \mathbb{R}^{3} determine a matriz mudança de base de B para C, M_{B C}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os vetores diretamente do enunciado):
O enunciado pede a matriz de mudança de base de B para C, que chamamos de M_{BC}. Isto é, a matriz tal que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3,
[v]_C = M_{BC}\,[v]_B.
Aqui [v]_B são as coordenadas de v na base B e [v]_C são as coordenadas de v na base C.
Passo 2
Estratégia e fórmula-chave (sem pular etapas): montar as matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas canônicas, e usar a relação entre essas matrizes.
Definições e ideia (explicando as notações):
Seja P_B a matriz 3\times3 cujas colunas são b_1,b_2,b_3 (escritos em coordenadas canônicas). Assim, para qualquer vetor v,
v = P_B\,[v]_B.
Seja P_C a matriz 3\times3 cujas colunas são c_1,c_2,c_3. Então
v = P_C\,[v]_C.
Igualando v obtemos P_B\,[v]_B = P_C\,[v]_C. Resolvendo para [v]_C,
[v]_C = P_C^{-1} P_B\,[v]_B.
Portanto a matriz de mudança de base que queremos é
M_{BC} = P_C^{-1} P_B.
Vou calcular P_C^{-1}P_B passo a passo (primeiro montando P_B,P_C, depois invertendo P_C e por fim multiplicando).
Passo 3
Montar as matrizes P_B e P_C (colunas são os vetores das bases, em coordenadas canônicas):
Calcular a matriz adjunta (adjugate) de P_C — isto é, a matriz transposta da matriz de cofatores. Vou calcular os cofatores um a um (mostrar o menor e o sinal).
Cofatores (mostrar menor e resultado):
C_{11}=\det\begin{pmatrix}-1&6\\[2pt]5&-7\end{pmatrix}=-23 e sinal +\Rightarrow cofator =-23.
C_{12}=\det\begin{pmatrix}7&6\\[2pt]0&-7\end{pmatrix}=-49 e sinal -\Rightarrow cofator =+49.
C_{13}=\det\begin{pmatrix}7&-1\\[2pt]0&5\end{pmatrix}=35 e sinal +\Rightarrow cofator =35.
C_{21}=\det\begin{pmatrix}-3&12\\[2pt]5&-7\end{pmatrix}=-39 e sinal -\Rightarrow cofator =39.
C_{22}=\det\begin{pmatrix}7&12\\[2pt]0&-7\end{pmatrix}=-49 e sinal +\Rightarrow cofator =-49.
C_{23}=\det\begin{pmatrix}7&-3\\[2pt]0&5\end{pmatrix}=35 e sinal -\Rightarrow cofator =-35.
C_{31}=\det\begin{pmatrix}-3&12\\[2pt]-1&6\end{pmatrix}=-6 e sinal +\Rightarrow cofator =-6.
C_{32}=\det\begin{pmatrix}7&12\\[2pt]7&6\end{pmatrix}=-42 e sinal -\Rightarrow cofator =42.
C_{33}=\det\begin{pmatrix}7&-3\\[2pt]7&-1\end{pmatrix}=14 e sinal +\Rightarrow cofator =14.
Agora calcular M_{BC}=P_C^{-1}P_B. É conveniente primeiro multiplicar \operatorname{adj}(P_C) por P_B e depois dividir por 112. Vou fazer as multiplicações linha por coluna com as entradas explícitas.
Checagem rápida (válida para prova): aplicar P_C à primeira coluna de M_{BC} deve dar b_1. A primeira coluna de M_{BC} é \left(\tfrac{7}{16},-\tfrac{1}{16},-\tfrac{3}{16}\right). Multiplicando por P_C obtém-se