Esboce as curvas de nível de
f(x, y)=x^21-y^2

Passo 1

Beleza, a gente quer “desenhar” as curvas de nível da função
f(x,y)=x^21-y^2
Isso faz parte de Função de Duas Variáveis, mais especificamente Curvas de Nível. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Definição de curva de nível (é só pôr ).
  2. Álgebra básica pra isolar e .
  3. Reconhecer as formas: elipse, hipérbole, reta.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é curva de nível: pra cada valor constante f(x,y)=k , a curva de nível é o lugar geométrico dos pontos x^21-y^2=k, que satisfazem
Ou seja, no nosso caso vamos estudar
onde é um número fixo (pode ser positivo, zero ou negativo).

Passo 3

Ajustando a equação:
x^21-y^2=k Longrightarrow x^2 = k,(1-y^2) Longrightarrow x^2 + k,y^2 = k
Essa é a equação geral que vai virar elipse, hipérbole ou reta, dependendo de .

Passo 4

Caso x^21-y^2=0 Longrightarrow x^2=0 Longrightarrow x=0 :
Então a curva de nível de valor zero é a reta vertical , mas lembrando que o domínio da função exige , ou seja, .

Passo 5

Caso x^2 + k,y^2 = k ;Longrightarrow; x^2k + y^2 = 1 :
Isso é uma elipse centrada em , com semi-eixo horizontal e vertical . Como , ela só vive na faixa .

Passo 6

Caso x^2 = -h,(1-y^2) ;Longrightarrow; x^2 = h,(y^2-1) ;Longrightarrow; x^2h = y^2-1 ;Longrightarrow; y^2 - x^2h = 1 : escreva com . Então
Isso é uma hipérbole com eixo transverso vertical (abre pra cima e pra baixo). Aqui , então só faz sentido pra .

Passo 7

Resumindo o domínio:
  • A função não existe em .
  • Para , as curvas de nível são elipses (se ).
  • Para , as curvas de nível são hipérboles (se ).
  • E pra temos a reta (com ).

Resposta

As curvas de nível de
são:
  • Para : reta vertical (com ).
  • Para : elipses , contidas em .
  • Para : hipérboles , contidas em .

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