Esboce as curvas de nível de
Passo 1
Beleza, a gente quer “desenhar” as curvas de nível da função
Isso faz parte de Função de Duas Variáveis, mais especificamente Curvas de Nível. Para resolver, vamos precisar de:
- Definição de curva de nível (é só pôr
). - Álgebra básica pra isolar
e . - Reconhecer as formas: elipse, hipérbole, reta.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é curva de nível: pra cada valor constante
, a curva de nível é o lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
Ou seja, no nosso caso vamos estudar
onde
é um número fixo (pode ser positivo, zero ou negativo).
Passo 3
Ajustando a equação:
Essa é a equação geral que vai virar elipse, hipérbole ou reta, dependendo de
.
Passo 4
Caso
:
Então a curva de nível de valor zero é a reta vertical
, mas lembrando que o domínio da função exige
, ou seja,
.
Passo 5
Caso
:
Isso é uma elipse centrada em
, com semi-eixo horizontal
e vertical
. Como
, ela só vive na faixa
.
Passo 6
Caso
: escreva
com
. Então
Isso é uma hipérbole com eixo transverso vertical (abre pra cima e pra baixo). Aqui
, então só faz sentido pra
.
Passo 7
Resumindo o domínio:
- A função não existe em
. - Para
, as curvas de nível são elipses (se ). - Para
, as curvas de nível são hipérboles (se ). - E pra
temos a reta (com ).
Resposta
As curvas de nível de
são:
- Para
: reta vertical (com ). - Para
: elipses , contidas em . - Para
: hipérboles , contidas em .