Considere a equação:
(1-x) y^prime prime+x y^prime-2 y=0
(a) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências da equação acima em torno de x0=0.
(b) Encontre pelo menos os cinco primeiros termos não nulos das séries das soluções L.I. y1 e y2.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais y(0)=0 e $y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em série de potências, em torno de x0=0, a equação
(1-x),y'' + x,y' - 2,y = 0,
isto é, supor
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
e encontrar:\r
  • (a) a relação de recorrência entre os an;\r
  • (b) as duas soluções linearmente independentes y1,y2 exibindo, em cada uma, os cinco primeiros coeficientes não nulos;\r
  • (c) a combinação que satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 2

Assumimos
Substituindo em e reorganizando potências de , obtemos para o termo (com ):
Para surge ainda
Logo, a recorrência geral é

Passo 3

Construímos a primeira solução tomando e . Da recorrência:
para :
:
:
:
Portanto os cinco primeiros termos não nulos de são

Passo 4

Para a segunda solução tomamos e . Então e
para :
:
:
:
Os cinco primeiros termos não nulos de são

Passo 5

A solução geral é . Impondo e
Logo a solução pedida é

Resposta

(a)
a2=a0, am+2=m(m+1),am+1+(m-2),am(m+2)(m+1), m>=1
(b)
y1(x)=1 + x^2 + tfrac13x^3 + tfrac16x^4 + tfrac760x^5 + cdots,
y2(x)=x - tfrac16x^3 - tfrac112x^4 - tfrac7120x^5 - tfrac245x^6 + cdots
(c)
y(x)=x - tfrac16x^3 - tfrac112x^4 - tfrac7120x^5 - tfrac245x^6 + cdots

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