Considere a equação:
(a) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências da equação acima em torno de
.
(b) Encontre pelo menos os cinco primeiros termos não nulos das séries das soluções L.I.
e
.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais
e $y^{\prime}(0)=1.
(b) Encontre pelo menos os cinco primeiros termos não nulos das séries das soluções L.I.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver em série de potências, em torno de
, a equação
isto é, supor
e encontrar:\r
- (a) a relação de recorrência entre os
;\r - (b) as duas soluções linearmente independentes
exibindo, em cada uma, os cinco primeiros coeficientes não nulos;\r - (c) a combinação que satisfaz
e .
Passo 2
Assumimos
Substituindo em
e reorganizando potências de
, obtemos para o termo
(com
):
Para
surge ainda
Logo, a recorrência geral é
Passo 3
Construímos a primeira solução
tomando
e
. Da recorrência:
para
:
Portanto os cinco primeiros termos não nulos de
são
Passo 4
Para a segunda solução
tomamos
e
. Então
e
para :
para
Os cinco primeiros termos não nulos de
são
Passo 5
A solução geral é
. Impondo
e
dá
Logo a solução pedida é
Resposta
(a)
(b)
(c)