Determinar os pontos críticos (caso existam) das funções:
f(x)=x^4+4 x^3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função
f(x)=x^4+4x^3
Conteúdo envolvido: definição de ponto crítico (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e cálculo de derivada usando regra de potência.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f aplicando a regra de potência em cada termo:
f'(x)=ddxl(x^4r)+ddxl(4x^3r) =4x^3+12x^2

Passo 3

Colocamos f'(x) em fatoração para resolver f'(x)=0:
f'(x)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3)
Igualando a zero,
4x^2(x+3)=0 Longrightarrow x=0ou x=-3
Como f' está bem definida para todo x, não há outros pontos críticos.

Passo 4

Encontramos as coordenadas dos pontos críticos substituindo em f(x):
Para x=-3:
f(-3)=(-3)^4+4(-3)^3=81-108=-27
Para x=0:
f(0)=0^4+4cdot0^3=0

Resposta

Os pontos críticos são
(-3,,-27)e(0,,0)

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