Resolva as E.D.O.'s e os P.V.I.'s a seguir:
2 y^prime prime-3 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' - 3,y' + y = 0
O conteúdo aqui é a técnica de assumir uma solução da forma y=e^r x e montar a equação característica para encontrar as raízes.

Passo 2

Assumimos y=e^r x, de modo que
y' = r,e^r x, y'' = r^2,e^r x
Substituindo em 2,y'' - 3,y' + y = 0 e dividindo por e^r xneq0, obtemos a equação característica
2,r^2 - 3,r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
2,r^2 - 3,r + 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot2cdot12cdot2 = 3 pm raiz9 - 84 = 3 pm 14
Logo as raízes são
r1 = 1, r2 = tfrac12

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da E.D.O. é
y(x) = C1,e^r1 x + C2,e^r2 x = C1,e^x + C2,e^tfracx2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1,e^x + C2,e^tfracx2

Exercícios relacionados