Determine d y / d x.
tg^-1(x^2 y)=x+x y^2

Passo 1

O enunciado define uma equação implícita
arctanl(x^2yr)=x + x,y^2,
e pede dydx. Vamos usar diferenciação implícita, a regra da cadeia para arctan e a regra do produto para x^2y e para x,y^2.

Passo 2

Diferenciando os dois lados em relação a x, temos
ddxl[arctan(x^2y)r] = 11+(x^2y)^2cdotddxl(x^2yr) = 2x,y + x^2,y'1 + x^4y^2,
e
ddxl[x + x,y^2r] = 1 + l(y^2 + xcdot 2y,y'r) = 1 + y^2 + 2x,y,y'
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2x,y + x^2y'1 + x^4y^2 = 1 + y^2 + 2x,y,y'

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 1 + x^4y^2 e agrupamos os termos que contêm y':
2x,y + x^2y' = (1 + x^4y^2)(1 + y^2) + 2x,y,(1 + x^4y^2),y'
Passando os termos com y' para o lado esquerdo e os demais para o direito,
x^2y' - 2x,y,(1 + x^4y^2),y' = (1 + x^4y^2)(1 + y^2) - 2x,y

Passo 4

Fatorando y' no lado esquerdo e isolando, obtemos
y',l[x^2 - 2x,y,(1 + x^4y^2)r] = (1 + x^4y^2)(1 + y^2) - 2x,y,
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y' = (1 + x^4y^2)(1 + y^2) - 2x,yx^2 - 2x,y,(1 + x^4y^2)

Resposta

dydx = (1 + x^4y^2)(1 + y^2) - 2x,yx^2 - 2x,y,(1 + x^4y^2)

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