Considere a equação:
(a) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências da equação acima em torno de
.
(b) Encontre pelo menos os cinco primeiros termos não nulos das séries das soluções L.I.
e
.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais
e
.
(b) Encontre pelo menos os cinco primeiros termos não nulos das séries das soluções L.I.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução em torno de
por série de potências. O conteúdo é séries de potências em ponto ordinário. Vamos assumir
calcular
e
, e substituir na equação para achar a relação de recorrência dos
.
Passo 2
Calculamos
Logo
Igualando o coeficiente de
a zero, para todo
, obtemos
Dessa forma,
Passo 3
Para gerar uma solução
escolhemos
e
. Usando a recorrência:
Passo 4
Para a segunda solução
tomamos
e
. Então:
Passo 5
Para satisfazer
e
precisamos de
e
, ou seja, escolhemos exatamente
.
Resposta
A) A relação de recorrência é
B) As duas soluções independentes, até cinco termos não nulos, são
C) A solução que satisfaz
,
é