Considere a equação:
(1-x) y^prime prime+x y^prime-2 y=0
(a) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências da equação acima em torno de x0=0.
(b) Encontre pelo menos os cinco primeiros termos não nulos das séries das soluções L.I. y1 e y2.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1-x),y'' + x,y' - 2,y = 0
e pede a solução em torno de x0=0 por série de potências. O conteúdo é séries de potências em ponto ordinário. Vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', e substituir na equação para achar a relação de recorrência dos an.

Passo 2

Calculamos
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^,n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^,n-2
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(1-x)y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n ;-;sumn=1^infty(n+1)n,an+1x^n,
x,y'=sumn=1^inftyn,anx^n, -2y=sumn=0^infty-2,anx^n
Igualando o coeficiente de x^n a zero, para todo n>=0, obtemos
(n+2)(n+1),an+2 ;-;n(n+1),an+1 ;+;(n-2),an=0
Dessa forma,
boxedan+2=n(n+1),an+1-(n-2),an(n+2)(n+1), n>=0

Passo 3

Para gerar uma solução y1 escolhemos a0=1 e a1=0. Usando a recorrência:
a2=a0=1, a3=1cdot2,a2-(1-2),a13cdot2=26=tfrac13,
a4=2cdot3,a3-(2-2),a24cdot3=6cdot1312=tfrac16,
a5=3cdot4,a4-(3-2),a35cdot4=12cdot16-1cdot1320=tfrac112,
a6=4cdot5,a5-(4-2),a46cdot5=20cdot112-2cdot1630=tfrac245

Passo 4

Para a segunda solução y2 tomamos a0=0 e a1=1. Então:
a2=0, a3=1cdot2cdot0-(1-2)cdot16=tfrac16, a4=tfrac6cdot1612=tfrac112,
a5=12cdot112-1cdot1620=tfrac124, a6=20cdot124-2cdot11230=tfrac145

Passo 5

Para satisfazer y(0)=0 e y'(0)=1 precisamos de a0=0 e a1=1, ou seja, escolhemos exatamente y2.

Resposta

A) A relação de recorrência é
an+2=n(n+1),an+1-(n-2),an(n+2)(n+1), n>=0
B) As duas soluções independentes, até cinco termos não nulos, são
y1(x)=1 + x^2 + tfrac13,x^3 + tfrac16,x^4 + tfrac112,x^5 + cdots,
y2(x)=x + tfrac16,x^3 + tfrac112,x^4 + tfrac124,x^5 + cdots
C) A solução que satisfaz y(0)=0, y'(0)=1 é
boxedy(x)=y2(x)=x + tfrac16,x^3 + tfrac112,x^4 + tfrac124,x^5 + cdots

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