Exercício 3. Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
4 y^prime prime-y=e^x / 2+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
4y''-y = e^x/2+3
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo envolve:
– reduzir a equação à forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y = r(x),
– achar a solução geral da homogênea,
– aplicar a fórmula de variação dos parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 4:
y'' - 14y = 14l(e^x/2+3r)
Aqui temos p(x)=0, q(x)=-tfrac14 e r(x)=tfrac14(e^x/2+3).

Passo 3

A equação homogênea associada é
y'' - 14y = 0
A equação característica é
r^2 - 14 = 0 Longrightarrow r = pm 12
Logo duas soluções lineares independentes são
y1(x) = e^x/2, y2(x) = e^-x/2

Passo 4

Para variação dos parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x) = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^x/2l(-tfrac12 e^-x/2r);-;l(tfrac12 e^x/2r)e^-x/2 = -1
E a fórmula de variação dos parâmetros dá uma solução particular
yp = -,y1!integral y2,r(x)W(x),dx ;+;y2!integral y1,r(x)W(x),dx
Como r(x)=tfrac14(e^x/2+3) e W=-1, temos tfracrW=-tfrac14(e^x/2+3).]

Passo 5

Calculamos as duas integrais necessárias:
I1 = integral y2,rW,dx = -tfrac14integral e^-x/2l(e^x/2+3r),dx = -tfrac14integrall(1+3e^-x/2r),dx = -tfracx4 + tfrac32e^-x/2
I2 = integral y1,rW,dx = -tfrac14integral e^x/2l(e^x/2+3r),dx = -tfrac14integrall(e^x+3e^x/2r),dx = -tfrac14e^x - tfrac32e^x/2

Passo 6

Montamos yp:
yp = -,e^x/2,I1 ;+; e^-x/2,I2 = e^x/2l(tfracx4-tfrac32e^-x/2r) ;+; e^-x/2l(-tfrac14e^x - tfrac32e^x/2r)
Distribuindo e simplificando, chega-se a
yp = x-14,e^x/2 ;-;3
(Verifica-se que 4yp''-yp = e^x/2+3.)

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^x/2 + C2 e^-x/2 ;+; x-14,e^x/2 ;-;3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x/2 + C2 e^-x/2 + x-14,e^x/2 - 3

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