Considere a equação
(1-x) y^prime prime+x y^prime-2 y=0
(a) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências da equação acima de xo=0.
(b) Encontre pelo os cinco primeiros termos não-nulos das séries de y1 e y2.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1 - x),y'' + x,y' - 2,y = 0
e pede:
  1. a relação de recorrência dos coeficientes na série de potências em torno de x0=0;
  2. os cinco primeiros termos não nulos das duas soluções fundamentais y1 e y2;
  3. a solução que satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1.
    Vamos assumir uma solução em série
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
e obter o sistema para an.

Passo 2

Calculemos y' e y'':
y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2
Então
(1-x)y''=sumn=2^infty n(n-1)an,x^n-2 ;-;sumn=2^infty n(n-1)an,x^n-1
Reindexando para potências x^m e somando com x,y' e -2y, exigimos que o coeficiente de cada x^m seja zero.

Passo 3

Dessa combinação obtém-se, para m>=1,
(m+2)(m+1),am+2 - m(m+1),am+1 + (m-2),am =0,
e para m=0 resulta 2a2-2a0=0. Logo a relação geral é
boxed am+2 =m(m+1),am+1 ;-;(m-2),am(m+2)(m+1), m>=0,
com a convenção a-1=0.

Passo 4

Para a primeira solução y1 tomamos a0=1, a1=0. Da recorrência:
a2 = a0 =1, a3 = 1cdot2,a2 -(-1),a13cdot2=26=13,
a4=2cdot3,a3 -0cdot a24cdot3 =6cdot1312=16, a5=3cdot4,a4 -1cdot a35cdot4 =12cdot16 -1320 =1/2 -1/320=1/620=1120/6=112
Assim os cinco primeiros termos não nulos de y1 são
boxed y1(x)=1 + x^2 +13,x^3 +16,x^4 +112,x^5 +cdots

Passo 5

Para a segunda solução y2 tomamos a0=0, a1=1. Da recorrência:
a2=0, a3=1cdot2,a2 -(-1),a13cdot2=16, a4=2cdot3,a34cdot3=112,
a5=3cdot4,a4 -1cdot a35cdot4 =1 -1/620=5/620=124, a6=4cdot5,a5 -2,a46cdot5 =20/24 -2/1230=5/6 -1/630=4/630=145
Logo os cinco primeiros termos não nulos de y2 são
boxed y2(x)=x +16,x^3 +112,x^4 +124,x^5 +145,x^6 +cdots

Passo 6

Para satisfazer y(0)=0 e y'(0)=1 precisamos de a0=0 e a1=1, isto é, escolher y=y2. Portanto a solução com essas condições iniciais é
boxed y(x) =x +16,x^3 +112,x^4 +124,x^5 +145,x^6 +cdots

Resposta

(a) am+2=m(m+1),am+1-(m-2),am(m+2)(m+1).
(b)
y1(x)=1+x^2+tfrac13x^3+tfrac16x^4+tfrac112x^5+cdots,
y2(x)=x+tfrac16x^3+tfrac112x^4+tfrac124x^5+tfrac145x^6+cdots.
(c) y(x)=y2(x)=x+tfrac16x^3+tfrac112x^4+tfrac124x^5+tfrac145x^6+cdots.

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