Considere a equação
(a) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências da equação acima de
.
(b) Encontre pelo os cinco primeiros termos não-nulos das séries de
e
.
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais
e
.
(b) Encontre pelo os cinco primeiros termos não-nulos das séries de
(c) Encontre a solução que satisfaz às condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- a relação de recorrência dos coeficientes na série de potências em torno de
; - os cinco primeiros termos não nulos das duas soluções fundamentais
e ; - a solução que satisfaz
e .
Vamos assumir uma solução em série
e obter o sistema para
.
Passo 2
Calculemos
e
:
Então
Reindexando para potências
e somando com
e
, exigimos que o coeficiente de cada
seja zero.
Passo 3
Dessa combinação obtém-se, para
,
e para
resulta
. Logo a relação geral é
com a convenção
.
Passo 4
Para a primeira solução
tomamos
,
. Da recorrência:
Assim os cinco primeiros termos não nulos de
são
Passo 5
Para a segunda solução
tomamos
,
. Da recorrência:
Logo os cinco primeiros termos não nulos de
são
Passo 6
Para satisfazer
e
precisamos de
e
, isto é, escolher
. Portanto a solução com essas condições iniciais é
Resposta
(a)
.
(b)
,
.
(c) .
(b)
(c)