Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por séries de potências em torno de
. Como o ponto
é um ponto ordinário, podemos supor que a solução tem a forma
Passo 2
Assumimos
Passo 3
Substituindo em
temos
No segundo termo escrevemos
Agora reindexamos para obter potências
: no primeiro somatório ponha
, e no segundo ponha
. O resultado é
Passo 4
Como a soma vale zero para todo
, cada coeficiente deve se anular:
Para
temos
, o que dá
Para
isolamos
Passo 5
Renomeando
, a recorrência fica
Isso implica que
sempre que
não for múltiplo de
, e para
Passo 6
Logo a solução em série é
Reconhecendo a série de Taylor do exponencial, obtemos em forma fechada
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.