Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de x=0.
y^prime-x^3 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - x^3y = 0
por séries de potências em torno de x=0. Como o ponto x=0 é um ponto ordinário, podemos supor que a solução tem a forma
y = sumn=0^infty anx^n

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^infty anx^n, y' = sumn=0^infty n,an,x^n-1

Passo 3

Substituindo em y' - x^3y=0 temos
sumn=0^infty n,an,x^n-1 - x^3sumn=0^infty anx^n = 0
No segundo termo escrevemos
x^3sumn=0^infty anx^n = sumn=0^infty anx^n+3
Agora reindexamos para obter potências x^m: no primeiro somatório ponha m=n-1, e no segundo ponha m=n+3. O resultado é
summ=0^infty l((m+1)am+1 - am-3r) x^m = 0

Passo 4

Como a soma vale zero para todo x, cada coeficiente deve se anular:
(m+1)am+1-am-3=0
Para m=0,1,2 temos a-3=a-2=a-1=0, o que dá
a1=a2=a3=0
Para m>=3 isolamos
am+1=am-3m+1

Passo 5

Renomeando m+1=n, a recorrência fica
an+4=ann+4, n>=0
Isso implica que an=0 sempre que n não for múltiplo de 4, e para n=4k
a4k =a04cdot8cdot12cdots(4k) =a04^k,k!

Passo 6

Logo a solução em série é
y =sumk=0^inftya4kx^4k =a0sumk=0^inftyx^4k4^kk!
Reconhecendo a série de Taylor do exponencial, obtemos em forma fechada
y =a0exp!l(tfracx^44r)

Resposta

A solução geral é
boxedy = C,exp!l(tfracx^44r),
onde C é constante arbitrária.

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