Calcule o seguinte limite, utilizando a Regra de L’Hôpital e justificando detalhadamente cada aplicação da regra.
(ii)
pontos $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{2 x}\
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Não há outros dados além da expressão. O objetivo é usar a Regra de L’Hôpital e justificar detalhadamente cada aplicação.
Passo 2
Vou enunciar a Regra de L’Hôpital (forma usada aqui) de maneira clara e simples.
Explicando em palavras: quando uma fração dá a forma indeterminada
(ou
), e as funções são diferenciáveis próximas do ponto e o denominador tem derivada não nula perto do ponto, podemos substituir a razão das funções pela razão das derivadas — desde que a nova razão tenha limite.
Passo 3
Agora verifico as hipóteses da regra para
e
no ponto
.
-
Valores no ponto:portanto a expressão original tem a forma indeterminada
. -
Diferenciabilidade próxima de
:
A funçãoé diferenciável em toda a reta e sua derivada é . A função é diferenciável em toda a reta e sua derivada é . Logo ambas são diferenciáveis em para qualquer pequeno . -
Condição sobre
: entãonão se anula próximo de .
Portanto todas as hipóteses da Regra de L’Hôpital estão satisfeitas no ponto
.
Passo 4
Calculo as derivadas:
Pela Regra de L’Hôpital, podemos substituir o limite original pelo limite das derivadas:
Passo 5
A função
é contínua em
, logo o limite é simplesmente o valor em
:
Portanto, após uma única aplicação da Regra de L’Hôpital, obtemos o resultado final. (Observação pedagógica: dava também para usar diretamente o limite clássico
e concluir
, mas aqui a solução seguiu a instrução de usar L’Hôpital.)