Calcule o seguinte limite, utilizando a Regra de L’Hôpital e justificando detalhadamente cada aplicação da regra.
(ii) [10 pontos $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{2 x}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{2x}.
Não há outros dados além da expressão. O objetivo é usar a Regra de L’Hôpital e justificar detalhadamente cada aplicação.

Passo 2

Vou enunciar a Regra de L’Hôpital (forma usada aqui) de maneira clara e simples.
\text{Se }f\text{ e }g\text{ são diferenciáveis em }(a,b)\setminus\{c\}\text{ e } \lim_{x\to c}f(x)=0,\\ \lim_{x\to c}g(x)=0\text{ (ou ambos }\pm\infty\text{)},ãá \text{e }g'(x)\neq 0\text{ para }x\neq c\text{ próximo de }c,ó
\text{e existe }\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\text{ (finito ou }\pm\infty\text{),}
\text{então }\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.ã
Explicando em palavras: quando uma fração dá a forma indeterminada 0/0 (ou \infty/\infty), e as funções são diferenciáveis próximas do ponto e o denominador tem derivada não nula perto do ponto, podemos substituir a razão das funções pela razão das derivadas — desde que a nova razão tenha limite.

Passo 3

Agora verifico as hipóteses da regra para f(x)=\operatorname{sen}x e g(x)=2x no ponto c=0.
  • Valores no ponto:
    \lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x = 0, \qquad \lim_{x\to 0}2x = 0,
    portanto a expressão original tem a forma indeterminada 0/0.
  • Diferenciabilidade próxima de 0:
    A função \operatorname{sen}x é diferenciável em toda a reta e sua derivada é \cos x. A função 2x é diferenciável em toda a reta e sua derivada é 2. Logo ambas são diferenciáveis em (-\delta,\delta)\setminus\{0\} para qualquer pequeno \delta>0.
  • Condição sobre g':
    g'(x)=2\neq 0\quad\text{para todo }x,
    então g' não se anula próximo de 0.
Portanto todas as hipóteses da Regra de L’Hôpital estão satisfeitas no ponto 0.

Passo 4

Calculo as derivadas:
f'(x)=(\operatorname{sen}x)'=\cos x, \qquad g'(x)=(2x)'=2.
Pela Regra de L’Hôpital, podemos substituir o limite original pelo limite das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2}.

Passo 5

A função x\mapsto\cos x é contínua em 0, logo o limite é simplesmente o valor em 0:
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2}=\frac{\cos 0}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto, após uma única aplicação da Regra de L’Hôpital, obtemos o resultado final. (Observação pedagógica: dava também para usar diretamente o limite clássico \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1 e concluir \dfrac{1}{2}, mas aqui a solução seguiu a instrução de usar L’Hôpital.)

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados