Desenvolva e calcule a integral tripla \iiint_{B} x d x d y d z, onde
B=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, x \geq 0\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} x\,dx\,dy\,dz,
onde a região B é
B=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; x\ge 0\}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região B é a metade (metabola) da esfera de raio 3 centrada na origem, limitada pela condição x\ge 0.
  • Quer-se o valor numérico da integral do campo escalar f(x,y,z)=x sobre o volume B.

Passo 2

Escolhendo um sistema de coordenadas adequado e definindo as variáveis.
Para regiões esféricas é muito conveniente usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde:
  • \rho\ge 0 é a distância radial até a origem;
  • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo colatitude);
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida do porquê: numa casca esférica de raio \rho e espessura d\rho, a área do elemento angular é (\rho\sin\varphi\,d\theta)\cdot(\rho\,d\varphi)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta; multiplicando pela espessura d\rho obtém-se \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração para \rho,\varphi,\theta que descrevem B.
  • Como a esfera tem raio 3, tem-se 0\le \rho\le 3.
  • Para cobrir toda a esfera em \varphi usa-se 0\le\varphi\le\pi.
  • A condição x\ge 0 em coordenadas esféricas é \rho\sin\varphi\cos\theta\ge 0. Como \rho\ge 0 e \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi] (zero apenas nas pontas), a condição reduz-se a \cos\theta\ge 0, ou seja
-\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas esféricas e simplificar o integrando.
O integrando original é x. Em esféricas x=\rho\sin\varphi\cos\theta. Multiplicando pelo elemento de volume:
x\,dV = (\rho\sin\varphi\cos\theta)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta) = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Assim a integral fica
\iiint_{B} x\,dV =\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{3} \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral. Como o integrando é produto de funções separáveis em \rho,\varphi,\theta, podemos separar:
\iiint_{B} x\,dV =\left(\int_{0}^{3}\rho^{3}\,d\rho\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right).
Agora calculamos cada integral simples:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{4}}{4}=\frac{81}{4}.
  1. Integral em \theta:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=\left.\sin\theta\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.
  1. Integral em \varphi: usar a identidade \sin^{2}\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}:
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi =\frac{1}{2}\Big[\varphi-\tfrac{1}{2}\sin 2\varphi\Big]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.
Multiplicando os três resultados obtemos a expressão
\frac{81}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 2.
O valor numérico simplificado desta expressão aparece na seção de resposta abaixo.

Passo 6

Comentário final e incentivo: pronto — a integral se separou bem e cada peça era fácil de calcular. Boa notícia: a condição x\ge 0 só afetou os limites de \theta ( -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}), e o resto veio direto da simetria esférica. Vai dar tudo certo na prova — respira, repete esse procedimento e fica tranquilo!

Resposta

\dfrac{81\pi}{4}

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