Desenvolva e calcule a integral tripla \iiint_{B} x d x d y d z, onde
B=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, x \geq 0\right\} .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} x\,dx\,dy\,dz,
onde a região B é
B=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; x\ge 0\}.
Informações dadas e o que é pedido:
A região B é a metade (metabola) da esfera de raio 3 centrada na origem, limitada pela condição x\ge 0.
Quer-se o valor numérico da integral do campo escalar f(x,y,z)=x sobre o volume B.
Passo 2
Escolhendo um sistema de coordenadas adequado e definindo as variáveis.
Para regiões esféricas é muito conveniente usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), definidas por
\varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo colatitude);
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida do porquê: numa casca esférica de raio \rho e espessura d\rho, a área do elemento angular é (\rho\sin\varphi\,d\theta)\cdot(\rho\,d\varphi)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta; multiplicando pela espessura d\rho obtém-se \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 3
Determinar os limites de integração para \rho,\varphi,\theta que descrevem B.
Como a esfera tem raio 3, tem-se 0\le \rho\le 3.
Para cobrir toda a esfera em \varphi usa-se 0\le\varphi\le\pi.
A condição x\ge 0 em coordenadas esféricas é \rho\sin\varphi\cos\theta\ge 0. Como \rho\ge 0 e \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi] (zero apenas nas pontas), a condição reduz-se a \cos\theta\ge 0, ou seja
-\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas esféricas e simplificar o integrando.
O integrando original é x. Em esféricas x=\rho\sin\varphi\cos\theta. Multiplicando pelo elemento de volume:
Multiplicando os três resultados obtemos a expressão
\frac{81}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 2.
O valor numérico simplificado desta expressão aparece na seção de resposta abaixo.
Passo 6
Comentário final e incentivo: pronto — a integral se separou bem e cada peça era fácil de calcular. Boa notícia: a condição x\ge 0 só afetou os limites de \theta (-\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}), e o resto veio direto da simetria esférica. Vai dar tudo certo na prova — respira, repete esse procedimento e fica tranquilo!