Considere a equaçāo
:
Obtenha um fator integrante dependente de
. Após verifique que a nova equação, obtida pela multiplicação da equação dada pelo fator integrante determinado em (i), é exata.
Obtenha um fator integrante dependente de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
Considere a equação
:
Obtenha um fator integrante dependente de
. Após, verifique que a nova equação, obtida pela multiplicação da equação dada pelo fator integrante determinado em (i), é exata.
Então, estamos trabalhando com equações diferenciais e nosso objetivo é encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Esse fator nos ajudará a transformar a equação original em uma equação exata, facilitando a solução. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Se essa condição não for satisfeita, podemos tentar encontrar um fator integrante que, ao multiplicar ambos os lados da equação, torne-a exata.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que
, então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante
que depende apenas de
.
Passo 4
A fórmula para encontrar um fator integrante que depende apenas de
é:
Substituindo os valores que encontramos:
No entanto, como queremos um fator que depende apenas de
, precisamos ajustar nossa abordagem. Outra maneira de encontrar
é usando a relação:
Esse resultado não depende somente de
, o que indica que talvez precisemos reconsiderar nossa fórmula. Em vez disso, vamos assumir que:
Mas, para simplificar, vamos usar uma relação que nos dá diretamente o fator integrante
:
Essa integral pode ser complicada, então, para facilitar, vamos propor que
é uma função que cancela os termos que impedem a exatidão da equação. Nesse caso, vamos considerar uma forma simples para
.
Passo 5
Após algumas tentativas, percebemos que escolher
pode funcionar. Vamos testar:
Multiplicando ambos os lados da equação original por
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata.
Passo 6
Identificamos os novos
e
após multiplicar pelo fator:
Calculamos as derivadas parciais:
Vimos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante
.
Resposta
O fator integrante dependente de
é
, e após multiplicar a equação original por esse fator, a nova equação resultante é exata.