Considere a equaçāo (y^2+2 x y) d x-x^2 d y=0:
Obtenha um fator integrante dependente de y. Após verifique que a nova equação, obtida pela multiplicação da equação dada pelo fator integrante determinado em (i), é exata.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
Considere a equação (y^2+2 x y) d x -x^2 d y=0:
Obtenha um fator integrante dependente de y. Após, verifique que a nova equação, obtida pela multiplicação da equação dada pelo fator integrante determinado em (i), é exata.
Então, estamos trabalhando com equações diferenciais e nosso objetivo é encontrar um fator integrante que depende apenas de y. Esse fator nos ajudará a transformar a equação original em uma equação exata, facilitando a solução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação exata. Uma equação diferencial na forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Se essa condição não for satisfeita, podemos tentar encontrar um fator integrante que, ao multiplicar ambos os lados da equação, torne-a exata.

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
M(x,y) = y^2 + 2xy
N(x,y) = -x^2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y + 2x
partial Npartial x = -2x
Observamos que partial Mpartial y neq partial Npartial x, então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante mu(y) que depende apenas de y.

Passo 4

A fórmula para encontrar um fator integrante que depende apenas de y é:
mu(y) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dy
Substituindo os valores que encontramos:
partial Mpartial y - partial Npartial x = (2y + 2x) - (-2x) = 2y + 4x
No entanto, como queremos um fator que depende apenas de y, precisamos ajustar nossa abordagem. Outra maneira de encontrar mu(y) é usando a relação:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 2y + 2x + 2x-x^2 = 2y + 4x-x^2
Esse resultado não depende somente de y, o que indica que talvez precisemos reconsiderar nossa fórmula. Em vez disso, vamos assumir que:
dmudy = mu cdot partial Mpartial y - partial Npartial xM
Mas, para simplificar, vamos usar uma relação que nos dá diretamente o fator integrante mu(y):
mu(y) = e^integral 2yy^2 + 2xy dy
Essa integral pode ser complicada, então, para facilitar, vamos propor que mu(y) é uma função que cancela os termos que impedem a exatidão da equação. Nesse caso, vamos considerar uma forma simples para mu(y).

Passo 5

Após algumas tentativas, percebemos que escolher mu(y) = 1y^2 pode funcionar. Vamos testar:
Multiplicando ambos os lados da equação original por mu(y) = 1y^2:
1y^2(y^2 + 2xy) dx - 1y^2x^2 dy = 0
Simplificando:
(1 + 2xy) dx - x^2y^2 dy = 0
Agora, vamos verificar se a equação é exata.

Passo 6

Identificamos os novos M e N após multiplicar pelo fator:
M = 1 + 2xy
N = -x^2y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2xy^2
partial Npartial x = -2xy^2
Vimos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x = -2xy^2
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante mu(y) = 1y^2.

Resposta

O fator integrante dependente de y é mu(y) = 1y^2, e após multiplicar a equação original por esse fator, a nova equação resultante é exata.

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