Suponha que você comece no ponto (0,0,3) e se mova 5 unidades ao longo da curva x=3 sin t, y=4 t, z=3 cos t na direção positiva. Onde você está agora?

Passo 1

O enunciado pede para começarmos no ponto (0,0,3) e percorrermos 5 unidades de comprimento de arco ao longo da curva paramétrica r(t)=(3sin t,;4t,;3cos t) na direção de crescimento de t. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva no espaço, e vamos precisar usar a fórmula s(t)=integral0^t|r'(u)|,du.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da curva: r'(t)=l(3cos t,;4,;-3sin tr). Isso nos dá a velocidade em cada instante.
O módulo da velocidade é constante:
|r'(t)|=raiz(3cos t)^2+4^2+(-3sin t)^2=raiz9(cos^2t+sin^2t)+16=raiz25=5

Passo 3

Assim, o comprimento de arco de t=0 até t=T é
s(T)=integral0^T5,dt=5T
Para percorrer exatamente 5 unidades, basta resolver 5T=5, o que dá T=1.

Passo 4

Por fim, avaliamos a curva em t=1 para encontrar o ponto desejado:
r(1)=l(3sin 1,;4cdot1,;3cos 1r)

Resposta

(3sin 1,;4,;3cos 1)

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