Para cada um dos itens a seguir, determine a solução:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução da equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. - Precisamos encontrar a solução geral
(duas constantes arbitrárias, já que é segunda ordem).
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão dividindo por
(válido para
):
Agora comparo com a forma padrão conhecida
que é a equação de Bessel de ordem
. Igualando os termos obtenho
(consideramos aqui
, ordem positiva). Logo a equação dada é a equação de Bessel de ordem
.
Passo 3
Vou explicar rapidamente por que as soluções envolvem as funções de Bessel. Para a equação de Bessel de ordem
a teoria (método de séries de Frobenius) mostra que existem duas soluções linearmente independentes, chamadas de função de Bessel da primeira espécie
e função de Bessel da segunda espécie
. Portanto, para
a solução geral tem a forma
onde
são constantes arbitrárias. Nas próximas etapas eu mostro como a série de potências gera
e por que aparece a outra solução singular
.
Passo 4
Aplico o método de Frobenius para justificar as séries: suponho uma solução da forma
Então
Substituindo em
e recolhendo potências de
obtém-se (após simplificar) a relação
O coeficiente do menor expoente
(termo com
na primeira soma) dá a equação indicial:
portanto
Passo 5
Com as raízes
e
temos duas famílias de séries. Para
obtemos a recorrência (para
)
o que gera apenas potências
(somente termos de paridade compatível). Escolhendo a normalização adequada
a série resultante coincide com a definição de
dada por
Mostro os primeiros termos explícitos para fixar a ideia: para
vem
e para
vem
. Assim, expandindo,
Passo 6
A outra raiz
gera uma série que começa com
e, como as raízes diferem por um número inteiro, a segunda solução independente não é simplesmente a série com
(ela envolve termos que multiplicam um
). Essa segunda solução é precisamente a função de Bessel da segunda espécie
(também chamada função de Neumann), que tem singularidade em
. Uma forma formal de obtê-la é usar a combinação limite das funções
quando
, mas o importante para a prova é saber que existe uma segunda solução linearmente independente e que tipicamente se denota por
.
Passo 7
Conclusão prática: a solução geral da equação dada, válida para
, é a combinação linear das duas funções de Bessel de ordem
:
onde
são constantes arbitrárias. Aqui
é regular em
com série acima e
é singular em
.