Para cada um dos itens a seguir, determine a solução:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-4\right) y=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução da equação diferencial
x^{2}y''+x y'+\bigl(x^{2}-4\bigr)y=0.
Informações dadas e o que se pede:
  • Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x) (duas constantes arbitrárias, já que é segunda ordem).

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão dividindo por x^{2} (válido para x\neq0):
y''+\frac{1}{x}y'+\left(1-\frac{4}{x^{2}}\right)y=0.
Agora comparo com a forma padrão conhecida
x^{2}y''+x y'+\bigl(x^{2}-\nu^{2}\bigr)y=0,
que é a equação de Bessel de ordem \nu. Igualando os termos obtenho
\nu^{2}=4\quad\Rightarrow\quad \nu=2
(consideramos aqui \nu=2, ordem positiva). Logo a equação dada é a equação de Bessel de ordem 2.

Passo 3

Vou explicar rapidamente por que as soluções envolvem as funções de Bessel. Para a equação de Bessel de ordem \nu a teoria (método de séries de Frobenius) mostra que existem duas soluções linearmente independentes, chamadas de função de Bessel da primeira espécie J_{\nu}(x) e função de Bessel da segunda espécie Y_{\nu}(x). Portanto, para \nu=2 a solução geral tem a forma
y(x)=C_{1}J_{2}(x)+C_{2}Y_{2}(x),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Nas próximas etapas eu mostro como a série de potências gera J_{2} e por que aparece a outra solução singular Y_{2}.

Passo 4

Aplico o método de Frobenius para justificar as séries: suponho uma solução da forma
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+r},\quad a_{0}\neq0.
Então
y'=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)a_{k}x^{k+r-1},\qquad y''=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)(k+r-1)a_{k}x^{k+r-2}.
Substituindo em x^{2}y''+x y'+(x^{2}-4)y=0 e recolhendo potências de x obtém-se (após simplificar) a relação
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl[(k+r)^{2}-4\bigr]a_{k}x^{k+r}+\sum_{k=2}^{\infty}a_{k-2}x^{k+r}=0.
O coeficiente do menor expoente x^{r} (termo com k=0 na primeira soma) dá a equação indicial:
\bigl(r^{2}-4\bigr)a_{0}=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}-4=0,
portanto
r=\pm2.

Passo 5

Com as raízes r_{1}=2 e r_{2}=-2 temos duas famílias de séries. Para r=2 obtemos a recorrência (para k\ge2)
a_{k}=-\frac{a_{k-2}}{(k+2)^{2}-4}=-\frac{a_{k-2}}{k^{2}+4k},
o que gera apenas potências x^{2+2m} (somente termos de paridade compatível). Escolhendo a normalização adequada a_{0}=\frac{1}{8} a série resultante coincide com a definição de J_{2}(x) dada por
J_{2}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m!\,(m+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+2}.
Mostro os primeiros termos explícitos para fixar a ideia: para m=0 vem \dfrac{1}{0!\,2!}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}}{8} e para m=1 vem -\dfrac{1}{1!\,3!}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{4}=-\dfrac{x^{4}}{96}. Assim, expandindo,
J_{2}(x)=\frac{x^{2}}{8}-\frac{x^{4}}{96}+\cdots.

Passo 6

A outra raiz r=-2 gera uma série que começa com x^{-2} e, como as raízes diferem por um número inteiro, a segunda solução independente não é simplesmente a série com r=-2 (ela envolve termos que multiplicam um \ln x). Essa segunda solução é precisamente a função de Bessel da segunda espécie Y_{2}(x) (também chamada função de Neumann), que tem singularidade em x=0. Uma forma formal de obtê-la é usar a combinação limite das funções J_{\nu} quando \nu\to2, mas o importante para a prova é saber que existe uma segunda solução linearmente independente e que tipicamente se denota por Y_{2}(x).

Passo 7

Conclusão prática: a solução geral da equação dada, válida para x\neq0, é a combinação linear das duas funções de Bessel de ordem 2:
y(x)=C_{1}J_{2}(x)+C_{2}Y_{2}(x),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui J_{2} é regular em x=0 com série acima e Y_{2} é singular em x=0.

Resposta

y(x)=C_{1}J_{2}(x)+C_{2}Y_{2}(x)

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