Considere a equação
, onde
é uma constante real.
Mostre que se
, então, em módulo, toda solução não-trivial (ou seja, distinta de
) tende ao infinito, se
.
Mostre que se
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para mostrar que, na equação diferencial
com
, toda solução não-trivial tende ao infinito quando
se aproxima de infinito. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos precisar entender como soluções comportam-se dependendo do sinal da constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de separação de variáveis, que pode ser resolvida separando
e
.
Passo 3
Separando as variáveis, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Passo 4
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos substituir
por uma nova constante
, pois
é apenas uma constante positiva.
Passo 6
Assim, a solução geral da equação é:
onde
é uma constante real diferente de zero (já que estamos considerando soluções não-triviais).
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Como
, a função exponencial
cresce sem limites conforme
aumenta.
Resposta
Portanto, se
, toda solução não-trivial da equação
tende ao infinito quando
.