Considere a equação y^prime=lambda y, onde lambda neq 0 é uma constante real.
Mostre que se lambda>0, então, em módulo, toda solução não-trivial (ou seja, distinta de y=0 ) tende ao infinito, se t infty.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para mostrar que, na equação diferencial com , toda solução não-trivial tende ao infinito quando se aproxima de infinito. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos precisar entender como soluções comportam-se dependendo do sinal da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de separação de variáveis, que pode ser resolvida separando e .

Passo 3

Separando as variáveis, temos:
dyy = lambda , dt
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.

Passo 4

Integrando, obtemos:
ln |y| = lambda t + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para |y| = e^lambda t + C = e^C cdot e^lambda t , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos substituir por uma nova constante , pois é apenas uma constante positiva.

Passo 6

Assim, a solução geral da equação é:
y(t) = K e^lambda t
onde é uma constante real diferente de zero (já que estamos considerando soluções não-triviais).

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento de quando tende ao infinito. Como , a função exponencial cresce sem limites conforme aumenta.

Resposta

Portanto, se , toda solução não-trivial da equação tende ao infinito quando .

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