Determine o volume do sólido limitado por x^2+y^2+z^2=a^2, x^2+y^2+z^2=b^2 e z^2=x^2+y^2 tal que z >= 0 e 0.
R.: pi3(2-raiz2)(b^3-a^3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas esferas e um cone. As equações que definem essas superfícies são:
  • Esfera menor: x^2 + y^2 + z^2 = a^2
  • Esfera maior: x^2 + y^2 + z^2 = b^2
  • Cone: z^2 = x^2 + y^2, com z >= 0
E sabemos que 0 < a < b. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para calcular volumes de sólidos com simetria esférica e cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem.
  • theta é o ângulo no plano xy (similar ao ângulo polar).
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
A relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas é:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi

Passo 3

Agora, vamos traduzir as equações das superfícies para coordenadas esféricas:
  • Esferas: x^2 + y^2 + z^2 = rho^2, então as esferas são $ \rho = a $ e $ \rho = b $.
  • Cone: rho = a . Substituindo as coordenadas esféricas:
rho = b
Simplificando:
z^2 = x^2 + y^2
(rho cosphi)^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2
Como rho^2 cos^2phi = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) cos^2phi = sin^2phi , consideramos cot^2phi = 1 implies cotphi = pm1 implies phi = pi4 ou 3pi4 .

Passo 4

Para encontrar o volume entre as esferas e dentro do cone, vamos integrar em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Os limites de integração são:
  • rho varia de a a b.
  • phi varia de 0 a pi4 (dentro do cone).
  • theta varia de 0 a 2pi (completando a rotação ao redor do eixo z).

Passo 5

Vamos montar a integral para o volume V:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integrala^b rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a rho:
integrala^b rho^2 , drho = [ rho^33 ]a^b = b^33 - a^33 = 13(b^3 - a^3)

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:
V = 2pi times (1 - raiz22) times 13(b^3 - a^3) = 2pi3(1 - raiz22)(b^3 - a^3)
Simplificando:
2pi3(2 - raiz22)(b^3 - a^3) = pi3(2 - raiz2)(b^3 - a^3)

Resposta

O volume do sólido é pi3(2 - raiz2)(b^3 - a^3).

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