Determine o volume do sólido limitado por e tal que e .
R.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas esferas e um cone. As equações que definem essas superfícies são:
Esfera menor:
Esfera maior:
Cone: , com
E sabemos que . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para calcular volumes de sólidos com simetria esférica e cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância do ponto à origem.
é o ângulo no plano (similar ao ângulo polar).
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos traduzir as equações das superfícies para coordenadas esféricas:
Esferas: x^2 + y^2 + z^2 = rho^2, então as esferas são $ \rho = a $ e $ \rho = b $.
Cone: rho = a . Substituindo as coordenadas esféricas: