Considere a equação y^prime=lambda y, onde lambda neq 0 é uma constante real.
Mostre que se lambda<0, então toda solução tende a zero, se t infty.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial simples do tipo , onde é uma constante real diferente de zero. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a solução geral dessa equação e analisar o comportamento dessa solução quando tende ao infinito, especialmente quando é negativa.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial y(t) = y0 e^lambda t . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e sua solução geral pode ser encontrada utilizando a técnica de separação de variáveis ou reconhecendo diretamente que é uma equação de crescimento ou decrescimento exponencial.
A solução geral dessa equação é dada por:
Aqui, é a constante de integração que representa a condição inicial da solução.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando tende ao infinito ( ), especialmente considerando que .
Sabemos que a função exponencial depende do sinal de :
  • Se , cresce exponencialmente à medida que aumenta.
  • Se , decresce exponencialmente à medida que aumenta.
No nosso caso, como , temos que tende a zero quando tende ao infinito.

Resposta

Portanto, quando , toda solução da equação tende a zero conforme vai para o infinito.

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