Considere a equação
, onde
é uma constante real.
Mostre que se
, então toda solução tende a zero, se
.
Mostre que se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial simples do tipo
, onde
é uma constante real diferente de zero. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a solução geral dessa equação e analisar o comportamento dessa solução quando
tende ao infinito, especialmente quando
é negativa.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e sua solução geral pode ser encontrada utilizando a técnica de separação de variáveis ou reconhecendo diretamente que é uma equação de crescimento ou decrescimento exponencial.
A solução geral dessa equação é dada por:
Aqui,
é a constante de integração que representa a condição inicial da solução.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando
tende ao infinito (
), especialmente considerando que
.
Sabemos que a função exponencial
depende do sinal de
:
- Se
, cresce exponencialmente à medida que aumenta. - Se
, decresce exponencialmente à medida que aumenta.
No nosso caso, como
, temos que
tende a zero quando
tende ao infinito.
Resposta
Portanto, quando
, toda solução da equação
tende a zero conforme
vai para o infinito.