Considere a equação diferencial y^prime+y^3=0.
Mostre que a função identicamente nula y=0 também é uma solução da equação diferencial considerada, porém não pode ser obtida como uma solução do tipo em (a).

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que a função identicamente nula y(x)=0 satisfaz a equação diferencial y'+y^3=0 e, ao mesmo tempo, argumentar que ela não aparece na família de soluções obtidas por separação em (a).

Passo 2

Vamos verificar por substituição direta: se y(x)=0 então y'(x)=0. Substituindo na ODE temos
0 + 0^3 = 0
que é verdadeiro. Logo, y(x)=0 é de fato uma solução.

Passo 3

Na dedução em (a) nós separamos as variáveis escrevendo
dydx = -y^3 Longrightarrow dyy^3 = -dx
e integramos. Note que esse passo exige dividir por y^3, ou seja, pressupõe y(x)neq0 no intervalo considerado.

Passo 4

Como a separação de variáveis em (a) só vale quando yneq0, a solução nula não pode ser alcançada naquela família de soluções. Portanto, y(x)=0 é uma solução adicional (singular) que não surge do processo de separação.

Resposta

A função y(x)=0 satisfaz a ODE, mas não aparece na solução geral obtida em (a) porque naquele método dividimos por y^3, o que exige yneq0.

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