Considere a equação diferencial
.
Mostre que a função identicamente nula
também é uma solução da equação diferencial considerada, porém não pode ser obtida como uma solução do tipo em (a).
Mostre que a função identicamente nula
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que a função identicamente nula
satisfaz a equação diferencial
e, ao mesmo tempo, argumentar que ela não aparece na família de soluções obtidas por separação em (a).
Passo 2
Vamos verificar por substituição direta: se
então
. Substituindo na ODE temos
que é verdadeiro. Logo,
é de fato uma solução.
Passo 3
Na dedução em (a) nós separamos as variáveis escrevendo
e integramos. Note que esse passo exige dividir por
, ou seja, pressupõe
no intervalo considerado.
Passo 4
Como a separação de variáveis em (a) só vale quando
, a solução nula não pode ser alcançada naquela família de soluções. Portanto,
é uma solução adicional (singular) que não surge do processo de separação.
Resposta
A função
satisfaz a ODE, mas não aparece na solução geral obtida em (a) porque naquele método dividimos por
, o que exige
.