Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^2x+c2e^3x.
phi(x)=12cos3x - 3sen3x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear com operador L(y)=y''-5y'+6y e termo não-homogêneo phi(x)=tfrac12cos3x -3sin3x. A solução geral da homogênea é yh=c1e^2x+c2e^3x. Vamos achar uma solução particular yp usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Palpite para a solução particular: como phi(x) é combinação de cos3x e sin3x, e as raízes da característica são r=2,3 (não há ressonância com pm3i), assumimos
yp = Acos3x + Bsin3x

Passo 3

Cálculo das derivadas necessárias:
yp'= -3Asin3x +3Bcos3x,
yp''= -9Acos3x -9Bsin3x

Passo 4

Substituição em L(yp)=yp''-5yp'+6yp e agrupamento de termos:
L(yp)=(-3A-15B)cos3x +(15A-3B)sin3x

Passo 5

Igualando a phi(x)=tfrac12cos3x -3sin3x obtemos o sistema:
-3A-15B=tfrac12,15A-3B=-3
Resolvendo, encontra-se
A=-tfrac31156, B=tfrac1156

Passo 6

Portanto, a forma da solução particular é dada por
yp = -31156cos3x + 1156sin3x

Resposta

y_p = -\frac{31}{156}\cos3x + \frac{1}{156}\sin3x

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