Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 5,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e é submetida a uma força harmônica com amplitude de 80 N e frequência de 5 Hz . Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm . Determinar o valor da massa m.
Obs.: Não se fala em amortecimento na questão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a massa m de um sistema massa–mola submetido a uma força harmônica. As informações dadas são:
rigidez da mola: k = 5{,}5\\ \mathrm{kN/m} (ou seja, k = 5500\\ \mathrm{N/m});
amplitude da força aplicada: F_0 = 80\\ \mathrm{N};
frequência da força: f = 5\\ \mathrm{Hz};
amplitude observada do movimento forçado (regime estacionário): X = 20\\ \mathrm{mm} (ou seja, X = 0{,}02\\ \mathrm{m}).
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de m compatíveis com esses dados. Não há amortecimento no problema.
Passo 2
Esclarecendo a modelagem e as variáveis (aula rápida): para uma massa m presa a uma mola de rigidez k e forçada por F(t)=F_0\cos(\omega t), a equação do movimento (sem amortecimento) é
m\ddot{x}+k x = F_0\cos(\omega t),
onde:
x(t) é o deslocamento,
\ddot{x} é a aceleração,
\omega é a pulsação da força aplicada (rad/s), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f,
F_0 é a amplitude da força aplicada,
k e m já definidos.
Procuramos a resposta no regime forçado estacionário (solução particular). Para esse caso, assume-se uma solução do tipo
x_p(t)=X\cos(\omega t - \varphi),
onde X é a amplitude estacionária que queremos relacionar com m,k,F_0,\omega.
Passo 3
Derivando a fórmula da amplitude (passo a passo didático):
A segunda derivada da solução assumida é \ddot{x}_p(t) = -\omega^2 X\cos(\omega t - \varphi).
Substituindo na equação do movimento:
m(-\omega^2 X\cos(\omega t - \varphi)) + k(X\cos(\omega t - \varphi)) = F_0\cos(\omega t).
Agrupando termos:
(k - m\omega^2)X\cos(\omega t - \varphi) = F_0\cos(\omega t).
No caso sem amortecimento, a resposta está em fase ou em oposição de fase com a força (não há defasagem contínua como com amortecimento), e, tomando o valor absoluto para a amplitude, obtemos a relação de módulo
X = \frac{F_0}{\big|k - m\omega^2\big|}.
Comentário intuitivo: o denominador k - m\omega^2 mede o “descompasso” entre rigidez e inércia na frequência da excitação; se k-m\omega^2 for pequeno (perto da ressonância), a amplitude cresce muito — e no modelo sem amortecimento isso levaria a amplitudes arbitrariamente grandes.
Passo 4
Agora aplicamos números. Primeiro expressões e conversões:
k = 5500\\ \mathrm{N/m},\qquad F_0=80\\ \mathrm{N},\qquad X=0{,}02\\ \mathrm{m},
m \approx \frac{15}{9{,}8696}\approx 1{,}5198\\ \mathrm{kg}\approx 1{,}52\\ \mathrm{kg}.
Caso (ii):
m\omega^2 = k + 4000 \quad\Rightarrow\quad m = \frac{k+4000}{\omega^2}.
m = \frac{5500+4000}{100\pi^2} = \frac{9500}{100\pi^2} = \frac{95}{\pi^2}.
Numericamente:
m \approx \frac{95}{9{,}8696}\approx 9{,}6268\\ \mathrm{kg}\approx 9{,}63\\ \mathrm{kg}.
Passo 6
Interpretação física curta e encorajamento: aparecimento de duas soluções é esperado no modelo sem amortecimento, porque a equação para m é quadrática em efeito (o valor absoluto gera duas possibilidades). A massa de ressonância (onde k-m\omega^2=0) seria
entre as duas soluções encontradas. Sem amortecimento, muito perto dessa massa a amplitude tenderia a infinito (isso é um artifício do modelo idealizado). Ambas as massas obtidas são matematicamente válidas para produzir a amplitude observada X=20\\ \mathrm{mm} com os dados fornecidos.
Resposta
m \approx 1{,}52\\ \mathrm{kg} m \approx 9{,}63\\ \mathrm{kg}